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第1章 基础知识1

1.1 矩阵的基本运算1

1.1.1 矩阵的加法2

1.1.2 数与矩阵的乘法2

1.1.3 矩阵的乘法2

1.1.4 矩阵的转置4

1.1.5 方阵的行列式5

1.1.6 逆矩阵5

1.1.7 方阵的迹6

1.1.8 共轭矩阵6

1.1.9 矩阵的分块7

1.2 线性方程组9

1.2.1 初等变换与初等矩阵9

1.2.2 阶梯型矩阵10

1.2.3 矩阵的秩和矩阵的等价标准形10

1.2.4 向量组的线性相关性12

1.3 相似矩阵15

1.3.1 方阵的特征值与特征向量15

1.3.2 相似矩阵16

1.3.3 正定矩阵17

习题118

第2章 矩阵的标准形21

2.1 一元多项式21

2.2 因式分解定理25

2.3 λ-矩阵的标准形31

2.4 矩阵相似的条件36

2.5 Jordan标准形39

2.6 最小多项式42

习题245

第3章 线性空间与线性变换47

3.1 线性空间47

3.2 线性空间的维数、基与坐标49

3.3 子空间的运算53

3.4 线性变换55

3.5 线性变换的矩阵57

3.6 线性变换的特征值、特征向量与不变子空间59

习题361

第4章 内积空间66

4.1 实内积与欧氏空间66

4.2 标准正交基、度量矩阵与正交补空间68

4.3 正交变换71

4.4 对称变换76

4.5 复内积与酉空间77

习题479

第5章 矩阵分析82

5.1 矩阵的极限82

5.2 函数矩阵的微分与积分83

5.3 矩阵的幂级数85

5.4 矩阵函数89

5.5 矩阵函数的计算方法92

5.6 矩阵函数与微分方程组的解98

习题5103

第6章 矩阵分解106

6.1 矩阵的三角分解106

6.2 正交三角分解112

6.3 满秩分解118

6.4 矩阵的谱分解119

6.5 奇异值分解122

习题6124

第7章 广义逆矩阵126

7.1 广义逆矩阵的概念126

7.2 广义逆矩阵129

7.3 自反广义逆136

7.4 广义逆矩阵138

7.5 广义逆矩阵的应用146

7.5.1 广义逆在解线性方程组中的应用147

7.5.2 广义逆在解线性最小二乘问题上的应用149

习题7151

第8章 特征值的估计153

8.1 向量的范数153

8.2 矩阵的范数155

8.3 特征值与矩阵元素的关系160

8.4 Rayleigh商162

8.5 圆盘定理165

习题8169

第9章 张量171

9.1 张量的物理描述171

9.2 张量的运算174

9.3 张量的代数描述177

习题9180

参考文献181