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第四章 度量空间1

4.1度量空间的基本概念2

1.引言2

2.距离的定义3

3.极限的概念5

4.常见度量空间6

习题4.111

4.2线性空间上的范数12

1.线性空间13

2.例15

3.赋范线性空间17

4.凸集20

5.商空间21

习题4.222

4.3空间LP23

1.LP上的范数23

2.平均收敛与依测度收敛的关系28

3.空间L∞（E， μ）29

4.数列空间lP31

习题4.332

4.4度量空间中的点集32

1.内点、开集33

2.极限点、闭集35

3.子空间的开集和闭集39

4.联络点集、区域40

5.点集间的距离41

6.n维欧几里得空间中的Borel集42

7.赋范线性空间中的商空间42

习题4.444

4.5连续映照45

1.连续映照和开映照45

2.闭映照48

3.连续曲线50

习题4.550

4.6稠密性52

1.稠密性的概念52

2.可析点集54

3.疏朗集55

习题4.656

4.7完备性57

1.完备性的概念57

2.某些完备空间59

3.完备空间的重要性质62

4.度量空间的完备化65

习题4.768

4.8不动点定理68

1.压缩映照原理68

2.应用74

习题4.877

4.9致密集79

1.致密集的概念79

2.致密集和完全有界集81

3.某些具体空间中致密点集的特征84

4.紧集87

5.紧集上的连续映照89

6.有限维赋范线性空间90

7.凸紧集上的不动点定理94

习题4.996

4.10拓扑空间和拓扑线性空间98

1.拓扑空间98

2.拓扑线性空间106

第五章 有界线性算子108

5.1有界线性算子108

1.线性算子与线性泛函概念108

2.线性算子的有界性与连续性111

3.有界线性算子全体所成的空间116

习题5.1121

5.2连续线性泛函的表示及延拓123

1.连续线性泛函的表示123

2.连续线性泛函的延拓129

3.泛函延拓定理的应用137

4.测度问题143

习题5.2145

5.3共轭空间与共轭算子148

1.二次共轭空间148

2.算子序列的收敛性149

3.弱致密性（弱列紧性）153

4.共轭算子155

习题5.3157

5.4逆算子定理和共鸣定理158

1.逆算子定理158

2.共鸣定理165

3.共鸣定理的应用167

习题5.4172

5.5线性算子的正则集与谱，不变子空间175

1.特征值与特征向量175

2.算子的正则点与谱点178

3.不变子空间191

习题5.5195

5.6关于全连续算子的谱分析196

1.全连续算子的定义和基本性质196

2.全连续算子的谱202

3.全连续算子的不变闭子空间208

习题5.6213

第六章 Hilbert空间的几何学与算子215

6.1基本概念215

1.内积与内积空间216

2.Hilbert空间218

习题6.1222

6.2投影定理223

1.直交和投影223

2.投影定理225

习题6.2229

6.3内积空间中的直交系231

1.就范直交系231

2.直交系的完备性234

3.直交系的完全性239

4.线性无关向量系的直交化241

5.可析Hilbert空间的模型242

习题6.3244

6.4共轭空间和共轭算子246

1.连续线性泛函的表示246

2.共轭空间247

3.共轭算子247

4.有界自共轭算子252

习题6.4253

6.5投影算子256

1.投影算子的定义和基本性质256

2.投影算子的运算259

3.投影算265

子与不变子空间265

习题6.5267

6.6双线性Hermite泛函与自共轭算子269

1.双线性Hermite泛函269

2.有界二次泛函273

习题6.6275

6.7谱系、谱测度和谱积分275

1.几个例275

2.谱测度278

3.谱系284

4.谱系和谱测度的关系287

习题6.7291

6.8酉算子的谱分解293

1.酉算子的定义293

2.酉算子的谱分解295

3.相应于酉算子的谱测度303

4.L2-Fourier变换305

5.平稳随机序列307

6.平移算子308

习题 6.8313

6.9自共轭算子的谱分解315

1.引言315

2.共轭算子316

3.对称算子与自共轭算子320

4.Cayley变换323

5.无界函数谱积分330

6.自共轭算子的谱分解定理333

7.函数模型338

8.全连续自共轭算子342

习题6.9343

6.10正常算子的谱分解345

1.正常算子345

2.乘积谱测度347

3.正常算子的谱分解350

4.算子代数352

习题6.10353

6.11算子的扩张与膨胀354

1.闭扩张354

2.半有界算子的自共轭扩张358

3.广义谱系的扩张谱系365

4.压缩算子的酉膨胀378

习题6.11378

第七章 广义函数382

7.1基本函数与广义函数382

1.引言382

2.基本函数空间384

3.局部可积函数空间386

4.广义函数空间388

习题7.1390

7.2广义函数的性质与运算391

1.广义函数的导函数和广义函数列的极限391

2.广义函数的原函数395