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P 预备知识1

1 直线1

计算机代数系统(CAS)练习11

2 函数和图形12

本版的技术创新之处14

致教师17

致学生27

3 指数函数28

4 反函数和对数函数36

5 三角函数及其反函数50

6 参数方程67

7 对变化进行建模76

指导你们复习的问题85

实践习题86

附加习题：理论、例子、应用90

1 极限和连续95

1.1 变化率和极限95

1.2 求极限和单侧极限111

1.3 与无穷有关的极限126

1.4 连续性138

1.5 切线149

指导你们复习的问题158

实践习题159

附加习题：理论、例子、应用161

2 导数163

2.1 作为函数的导数163

2.2 作为变化率的导数178

2.3 积、商以及负幂的导数191

2.4 三角函数的导数197

2.5 链式法则205

2.6 隐函数微分法218

2.7 相关变化率226

指导你们复习的问题235

实践习题236

附加习题：理论、例子、应用242

3 导数的应用245

3.1 函数的极值245

3.2 中值定理和微分方程257

3.3 图形的形状267

3.4 自治微分方程的图形解280

3.5 建模和最优化290

3.6 线性化和微分308

3.7 Newton法321

指导你们复习的问题331

实践习题332

附加习题：理论、例子、应用336

4 积分339

4.1 不定积分、微分方程和建模339

4.2 积分法则；替换积分法349

4.3 用有限和来估计356

4.4 黎曼和与定积分367

4.5 中值定理和基本定理378

4.6 定积分的变量替换391

4.7 数值积分399

指导你们复习的问题411

实践习题412

附加习题：理论、例子、应用418

5 积分的应用421

5.1 切片法求体积和绕轴旋转421

5.2 以圆柱薄壳模式计算体积436

5.3 平面曲线的长度444

5.4 弹簧、泵吸和提升452

5.5 流体力463

5.6 矩和质心471

实践习题484

指导你们复习的问题484

附加习题：理论、例子、应用487

6 超越函数和微分方程489

6.1 对数489

6.2 指数函数498

6.3 反三角函数的导数；积分510

6.4 一阶可分离变量微分方程517

6.5 线性一阶微分方程530

6.6 Euler法：人口模型538

6.7 双曲函数550

实践习题561

指导你们复习的问题561

附加习题：理论、例子、应用566

7 积分方法，l H?pital法则和反常积分569

7.1 基本积分公式569

7.2 分部积分576

7.3 部分分式584

7.4 三角替换593

7.5 积分表，计算机代数系统和Monte Carlo积分598

7.6 L H?pital法则605

7.7 反常积分613

指导你们复习的问题625

实践习题626

附加习题：理论、例子、应用629

8 无穷级数633

8.1 数列的极限634

8.2 子序列、有界序列和皮卡方法644

8.3 无穷级数652

8.4 非负项级数664

8.5 交错级数、绝对收敛和条件收敛676

8.6 幂级数685

8.7 Taylor级数和Maclaurin级数693

8.8 幂级数的应用706

8.9 Fourier级数714

8.10 Fourier余弦和正弦级数720

指导你们复习的问题727

实践习题728

附加习题：理论、例子、应用733

9 平面向量和极坐标函数739

9.1 平面向量739

9.2 点积749

9.3 向量-值函数759

9.4 对抛射体运动建模770

9.5 极坐标和图形781

9.6 极坐标曲线的微积分791

指导你们复习的问题800

实践习题801

附加习题：理论、例子、应用806

10 空间中的向量和运动807

10.1 空间中的笛卡儿(直角)坐标和向量807

10.2 点积和叉积816

10.3 空间中的直线和平面828

10.4 柱面和二次曲面836

10.5 向量值函数和空间曲线846

10.6 弧长和单位切向量T858

10.7 TNB标架；加速度的切向分量和法向分量867

10.8 行星运动和人造卫星877

指导你们复习的问题886

实践习题887

附加习题：理论、例子、应用890

11 多元函数及其导数895

11.1 多元函数895

11.2 高维函数的极限和连续906

11.3 偏导数914

11.4 链式法则925

11.5 方向导数、梯度向量和切平面935

11.6 线性化和微分949

11.7 极值和鞍点959

11.8 Lagrange乘子970

11.9 带约束变量的偏导数981

11.10 两个变量的Taylor公式986

指导你们复习的问题990

实践习题991

附加习题：理论、例子、应用996

12 重积分999

12.1 二重积分999

12.2 面积、力矩和质心1011

12.3 极坐标形式的二重积分1025

12.4 直角坐标下的三重积分1032

12.5 三维空间中的质量和矩1041

12.6 柱坐标与球坐标下的三重积分1048

12.7 多重积分中的变量替换1061

指导你们复习的问题1071

实践习题1072

附加习题：理论、例子、应用1075

13 向量场中的积分1079

13.1 线积分1079

13.2 向量场、功、环量和流量1085

13.3 与路径无关、势函数和保守场1096

13.4 平面的格林(Green)定理1104

13.5 曲面面积和曲面积分1116

13.6 参数化曲面1127

13.7 Stokes定理1137

13.8 散度定理及统一化理论1147

指导你们复习的问题1158

实践习题1159

附加习题：理论、例子、应用1162

附录1165

A.1 数学归纳法1165

A.2 1.2节极限定理的证明1167

A.3 链式法则的证明1172

A.4 复数1173

A.5 Simpson三分之一法则1182

A.6 Cauchy中值定理和l H?pital法则的较强的形式1183

A.7 常见的几个极限1184

A.8 Taylor定理的证明1185

A.9 向量叉积的分配律1187

A.10 行列式与Cramer法则1188

A.11 混合导数定理和增量定理1195

A.12 平行四边形在平面上投影的面积1200

习题答案1203

中英文名词对照1297

积分简表1323