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第一章 矩阵代数1

本章学习目标1

第一节 行列式1

一、行列式的定义2

二、行列式的性质3

三、行列式的计算5

四、克拉默法则8

习题9

第二节 矩阵的概念及矩阵的运算11

一、矩阵的概念11

二、矩阵的运算13

三、矩阵的初等变换15

四、矩阵的秩16

五、逆矩阵17

习题19

第三节 线性方程组20

一、线性方程组的基本概念和定理20

二、线性方程组解的结构22

三、非齐次线性方程组的解的结构23

习题24

第四节 矩阵在图形变换中的应用26

一、常见的几种二维几何变换矩阵26

二、三维图形的基本变换矩阵29

本章小结30

复习题一32

兴趣阅读——数学家韦达简介37

第二章 集合论38

本章学习目标38

第一节 集合的基本概念与运算38

一、集合的表示38

二、集合之间的关系39

三、集合的基本运算40

习题42

第二节 集合恒等式43

一、基本集合恒等式43

二、证明技巧44

习题45

第三节 包含排斥原理46

习题48

第四节 序偶与笛卡儿积48

习题50

第五节 关系及其表示50

一、基本概念50

二、关系表示法51

习题53

第六节 关系的运算53

一、基本概念53

二、运算的性质55

三、关系幂55

四、幂运算的性质57

习题57

第七节 关系的性质58

一、关系的五种基本性质58

二、关系性质的等价59

习题61

第八节 关系的闭包61

一、基本概念61

二、闭包的性质64

习题64

第九节 等价关系与相容关系65

一、集合的划分和覆盖65

二、等价关系66

三、相容关系69

习题71

第十节 偏序关系71

一、偏序关系的定义71

二、偏序关系的哈斯图72

三、偏序集中特殊位置的元素73

习题75

第十一节 函数的概念76

一、函数和像76

二、函数的性质78

三、函数的复合78

习题79

本章小结80

复习题二81

兴趣阅读——数学家康托尔与集合论84

第三章 数理逻辑85

本章学习目标85

第一节 命题与联结词85

一、命题的概念85

二、复合命题与联结词86

习题89

第二节 命题公式与赋值90

一、合式公式的定义90

二、公式的赋值91

三、真值表91

习题93

第三节 等价式与蕴含式94

一、等价式的概念94

二、用真值表判断公式的等价94

三、等价演算95

四、蕴含式97

习题99

第四节 范式101

一、简单合取式和简单析取式101

二、范式101

三、范式的唯一性——主范式103

四、主析取范式的作用107

五、主析取范式与主合取范式的联系108

习题108

第五节 联结词的完备集109

一、n元真值函数109

二、真值函数与命题公式的关系110

三、联结词完备集110

四、单元素联结词构成的联结词完备集111

习题112

第六节 推理理论113

一、有效推理113

二、直接证法113

三、间接证法116

习题119

第七节 谓词逻辑的基本概念120

一、个体词121

二、谓词121

三、量词122

四、谓词逻辑命题符号化122

习题124

第八节 谓词公式与翻译125

一、谓词语言125

二、自由与约束126

三、闭式126

四、谓词公式的解释127

五、谓词公式的分类128

习题129

第九节 谓词逻辑等值式130

一、常用等值式130

二、基本规则131

三、等值演算132

习题134

第十节 谓词逻辑的前束范式135

习题136

第十一节 谓词逻辑推理理论136

一、推理定律136

二、推理规则137

习题140

本章小结140

复习题三141

兴趣阅读——数理逻辑简介145

第四章 代数系统149

本章学习目标149

第一节 代数系统的概念149

习题151

第二节 代数系统的运算及其性质152

一、运算的性质152

二、特殊元155

习题159

第三节 半群与含幺半群161

一、半群161

二、含幺半群162

习题164

第四节 群与子群166

一、群166

二、群的基本性质167

三、子群169

习题170

第五节 交换群、循环群与置换群171

习题173

第六节 环与域174

一、环174

二、域176

习题177

第七节 格的概念及性质178

一、格的定义178

二、子格180

三、格的性质181

四、作为代数系统的格183

习题183

第八节 分配格与模格185

一、分配格185

二、模格187

习题187

第九节 有界格与有补格188

一、有界格188

二、有补格189

习题190

第十节 布尔代数191

一、布尔代数的概念191

二、布尔代数的性质193

习题195

本章小结196

复习题四197

兴趣阅读——群论的创始人伽罗华200

第五章 图论初步202

本章学习目标202

第一节 图的基本概念202

一、图的定义202

二、图的相关概念和规定203

三、顶点的度数与握手定理204

四、图的同构、完全图与补图206

习题208

第二节 路与回路209

一、通路与回路209

二、通路与回路的性质210

三、图的连通性211

习题213

第三节 图的矩阵表示213

习题217

第四节 欧拉图与哈密尔顿图218

一、欧拉图218

二、哈密尔顿图219

习题221

第五节 平面图222

一、平面图的定义222

二、欧拉公式224

三、平面图的着色227

习题229

第六节树230

一、树的定义230

二、生成树与最小生成树232

三、有向树234

四、二叉树236

习题241

本章小结242

复习题五242

兴趣阅读——阿兰·麦席森·图灵与计算机246

参考文献247