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第1章 科学计算中的误差1

1.1 引言1

1.2 截断误差2

1.3 计算机中的数与舍入误差2

1.3.1 数的基2

1.3.2 数值常数的范围3

1.3.3 计算机中的舍入误差3

1.3.4 减少舍入误差的策略7

1.4 历史人物：Eckert与Mauchly10

习题111

第2章 多项式插值14

2.1 引言14

2.2 拉格朗日插值15

2.2.1 拉格朗日插值公式15

2.2.2 误差分析17

2.3 均差与牛顿插值公式19

2.3.1 均差的定义及性质19

2.3.2 牛顿插值公式20

2.4 等距节点的牛顿插值公式21

2.4.1 向前差分表和牛顿向前插值公式21

2.4.2 向后差分表和牛顿向后插值公式25

2.5 埃尔米特插值26

2.6 分段低次插值28

2.6.1 分段线性插值28

2.6.2 分段三次插值30

2.7 三次样条插值31

2.8 二维插值问题33

2.9 历史人物：Runge34

习题235

第3章 线性方程组的数值解法38

3.1 引言38

3.2 高斯消去法38

3.3 高斯主元素消去法40

3.4 三角分解法43

3.4.1 LU分解43

3.4.2 追赶法45

3.5 条件数与病态方程组46

3.5.1 向量和矩阵的范数46

3.5.2 病态方程组48

3.5.3 条件数与误差分析48

3.6 不定方程组的数值解法50

3.7 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法52

3.8 迭代法的收敛性55

3.9 超松弛迭代法58

3.10 历史人物J.H.Wilkinson61

习题362

第4章 非线性方程的求根66

4.1 引言66

4.2 二分法66

4.3 试位法和改进的试位法70

4.4 牛顿法72

4.5 割线法75

4.6 逐次替换法77

4.7 劈因子法79

4.8 历史人物：Evariste Galois81

习题482

第5章 数值积分和数值微分85

5.1 引言85

5.2 梯形公式85

5.3 辛普森公式88

5.4 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式90

5.4.1 牛顿-柯特斯公式90

5.4.2 求积公式的代数精度92

5.5 龙贝格积分93

5.5.1 梯形公式的逐次分半算法93

5.5.2 梯形公式的加速94

5.5.3 辛普森公式的加速94

5.5.4 龙贝格公式94

5.6 正交多项式及其性质95

5.6.1 勒让德多项式96

5.6.2 切比雪夫多项式96

5.6.3 其他的几个正交多项式97

5.7 高斯求积公式98

5.7.1 高斯-勒让德公式98

5.7.2 高斯公式的稳定性100

5.7.3 其他的高斯求积公式101

5.8 二重积分的数值方法101

5.9 数值微分104

5.9.1 利用泰勒展开104

5.9.2 插值型求导公式106

5.10 历史人物：Ulam与VonNeumann108

习题5109

第6章 曲线的拟合112

6.1 引言112

6.2 最小二乘原理及直线拟合法112

6.3 高阶多项式拟合法116

6.4 用已知函数的线性组合作曲线拟合118

6.5 历史人物：Guass120

习题6122

第7章 矩阵特征值的计算125

7.1 引言125

7.2 插值方法125

7.3 求对称方程特征值的豪斯浩德尔二分法127

7.3.1 豪斯浩德尔变换127

7.3.2 三对角方阵的特征值129

7.4 幂法130

7.4.1 幂法130

7.4.2 逆幂法132

7.5 QR方法133

7.5.1 QR方法的基本步骤133

7.5.2 QR方法的收敛性问题134

7.5.3 应用举例135

习题7137

第8章 常微分方程初值问题的数值解法139

8.1 引言139

8.2 欧拉法140

8.2.1 向前欧拉法140

8.2.2 梯形欧拉法142

8.2.3 向后欧拉法143

8.2.4 误差、收敛性及稳定性讨论144

8.3 Runge-Kutta法146

8.3.1 二阶R-K法147

8.3.2 三阶R-K法149

8.3.3 四阶R-K法150

8.3.4 误差、收敛性和稳定性讨论153

8.4 预估-校正法155

8.4.1 引言155

8.4.2 Adams预估-校正法156

8.4.3 误差、收敛性和稳定性讨论158

习题8161

参考文献165