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第一部分 二阶椭圆型方程1

第一章 L2理论1

1 Lax-Milgram定理1

2 椭圆型方程的弱解2

3 Fredholm二择一定理5

4 弱解的极值原理6

5 弱解的正则性11

第二章 Schauder理论14

1 Holder空间14

2 磨光核16

3 位势方程解的C2，a估计19

4 Schauder内估计23

5 Schauder全局估计25

6 古典解的极值原理27

7 Dirichlet问题的可解性29

第三章 Lp理论33

1 Marcinkiewicz内插定理33

2 分解引理36

3 位势方程的估计37

4 W2，p内估计42

5 W2，p全局估计44

6 W2，p解的存在性45

第四章 De Giorgi-Nash估计49

1 弱解的局部性质49

2 内部Holder连续性55

3 全局Holder连续性58

第五章 散度型拟线性方程62

1 弱解的有界性62

2 有界弱解的Holder模64

3 梯度估计67

4 梯度的Holder模估计70

5 Dirichlet问题的可解性72

第六章 Krylov-Safonov估计75

1 Aleksandrov极值原理75

2 Harnack不等式与解的Holder模内估计83

3 解的全局Holder模估计91

第七章 完全非线性方程94

1 解的最大模估计与Holder模估计94

2 解的梯度估计99

3 解的梯度的Holder模估计101

4 非散度型拟线性方程的可解性108

5 关于完全非线性方程的可解性109

6 一类特殊方程112

7 一般完全非线性方程116

第二部分 椭圆型方程组123

第八章 线性散度型椭圆组的L2理论123

1 弱解的存在性123

2 能量模估计和H2正则性126

第九章 线性散度型椭圆组的Schauder理论130

1 Morrey空间和Campanato空间130

2 Schauder理论138

第十章 线性散度型椭圆组的Lp理论150

1 BMO空间和Stampacchia内插定理150

2 Lp理论151

第十一章 非线性椭圆组弱解的存在性157

1 引言157

2 变分方法158

第十二章 非线性椭圆组弱解的正则性167

1 H2正则性167

2 进一步的正则性、不正则的例子172

3 研究正则性的间接方法175

4 反向Holder不等式和Du的Lp估计182

5 研究正则性的直接方法194

6 奇异点集202

附录1 Sobolev空间207

1 弱导数和Sobolev空间W k·p （Ω）207

2 实数次Sobolev空间H s（Rn）210

3 Poincaré不等式211

附录2 Sard定理213

附录3 John-Nirenberg定理的证明214

附录4 Stampacchia内插定理的证明216

附录5 反向Holder不等式的证明221

参考文献228