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第1章 基础：逻辑和证明1

1.1 命题逻辑1

1.1.1 引言1

1.1.2 命题1

1.1.3 条件语句4

1.1.4 复合命题的真值表8

1.1.5 逻辑运算符的优先级8

1.1.6 逻辑运算和位运算8

练习10

1.2 命题逻辑的应用15

1.2.1 引言15

1.2.2 语句翻译15

1.2.3 系统规范说明16

1.2.4 布尔搜索16

1.2.5 逻辑谜题17

1.2.6 逻辑电路18

练习19

1.3 命题等价式22

1.3.1 引言22

1.3.2 逻辑等价式23

1.3.3 德·摩根律的运用25

1.3.4 构造新的逻辑等价式25

1.3.5 命题的可满足性26

1.3.6 可满足性的应用27

1.3.7 可满足性问题求解29

练习30

1.4 谓词和量词32

1.4.1 引言32

1.4.2 谓词33

1.4.3 量词35

1.4.4 约束论域的量词37

1.4.5 量词的优先级38

1.4.6 变量绑定38

1.4.7 涉及量词的逻辑等价式38

1.4.8 量化表达式的否定39

1.4.9 语句到逻辑表达式的翻译40

1.4.10 系统规范说明中量词的使用42

1.4.11 选自路易斯·卡罗尔的例子42

1.4.12 逻辑程序设计43

练习44

1.5 嵌套量词49

1.5.1 引言49

1.5.2 理解涉及嵌套量词的语句49

1.5.3 量词的顺序50

1.5.4 数学语句到嵌套量词语句的翻译51

1.5.5 嵌套量词到自然语言的翻译52

1.5.6 汉语语句到逻辑表达式的翻译52

1.5.7 嵌套量词的否定53

练习54

1.6 推理规则59

1.6.1 引言59

1.6.2 命题逻辑的有效论证60

1.6.3 命题逻辑的推理规则61

1.6.4 使用推理规则建立论证62

1.6.5 消解律63

1.6.6 谬误64

1.6.7 量化命题的推理规则64

1.6.8 命题和量化命题推理规则的组合使用66

练习66

1.7 证明导论69

1.7.1 引言69

1.7.2 一些专用术语70

1.7.3 理解定理是如何陈述的70

1.7.4 证明定理的方法70

1.7.5 直接证明法71

1.7.6 反证法71

1.7.7 归谬证明法73

1.7.8 证明中的错误75

1.7.9 良好的开端76

练习77

1.8 证明的方法和策略78

1.8.1 引言78

1.8.2 穷举证明法和分情形证明法78

1.8.3 存在性证明81

1.8.4 唯一性证明84

1.8.5 证明策略84

1.8.6 寻找反例86

1.8.7 证明策略实践86

1.8.8 拼接87

1.8.9 开放问题的作用89

1.8.10 其他证明方法90

练习90

关键术语和结论92

复习题94

补充练习95

计算机课题97

计算和探索97

写作课题98

第2章 基本结构：集合、函数、序列、求和与矩阵99

2.1 集合99

2.1.1 引言99

2.1.2 文氏图101

2.1.3 子集102

2.1.4 集合的大小103

2.1.5 幂集103

2.1.6 笛卡儿积104

2.1.7 使用带量词的集合符号105

2.1.8 真值集和量词106

练习106

2.2 集合运算108

2.2.1 引言108

2.2.2 集合恒等式110

2.2.3 扩展的并集和交集112

2.2.4 集合的计算机表示114

练习115

2.3 函数118

2.3.1 引言118

2.3.2 一对一函数和映上函数120

2.3.3 反函数和函数组合122

2.3.4 函数的图124

2.3.5 一些重要的函数125

2.3.6 部分函数127

练习128

2.4 序列与求和132

2.4.1 引言132

2.4.2 序列133

2.4.3 递推关系134

2.4.4 特殊的整数序列136

2.4.5 求和137

练习141

2.5 集合的基数144

2.5.1 引言144

2.5.2 可数集145

2.5.3 不可数集合147

练习149

2.6 矩阵151

2.6.1 引言151

2.6.2 矩阵算术152

2.6.3 矩阵的转置和幂153

2.6.4 0-1矩阵153

练习155

关键术语和结论158

复习题160

补充练习160

计算机课题162

计算和探索163

写作课题163

第3章 算法164

3.1 算法164

3.1.1 引言164

3.1.2 搜索算法166

3.1.3 排序167

3.1.4 贪婪算法170

3.1.5 停机问题172

练习173

3.2 函数的增长176

3.2.1 引言176

3.2.2 大O记号176

3.2.3 一些重要函数的大O估算179

3.2.4 函数组合的增长182

3.2.5 大Ω与大Θ记号183

练习184

3.3 算法的复杂度187

3.3.1 引言187

3.3.2 时间复杂度188

3.3.3 矩阵乘法的复杂度190

3.3.4 算法范型191

3.3.5 理解算法的复杂度192

练习195

关键术语和结论198

复习题199

补充练习200

计算机课题203

计算和探索203

写作课题203

第4章 数论和密码学204

4.1 整除性和模算术204

4.1.1 引言204

4.1.2 除法204

4.1.3 除法算法205

4.1.4 模算术206

4.1.5 模m算术208

练习208

4.2 整数表示和算法210

4.2.1 引言210

4.2.2 整数表示210

4.2.3 整数运算算法213

4.2.4 模指数运算216

练习217

4.3 素数和最大公约数219

4.3.1 引言219

4.3.2 素数220

4.3.3 试除法220

4.3.4 埃拉托斯特尼筛法221

4.3.5 关于素数的猜想和开放问题224

4.3.6 最大公约数和最小公倍数225

4.3.7 欧几里得算法227

4.3.8 gcd的线性组合表示228

练习230

4.4 求解同余方程233

4.4.1 引言233

4.4.2 线性同余方程233

4.4.3 中国剩余定理235

4.4.4 大整数的计算机算术236

4.4.5 费马小定理237

4.4.6 伪素数238

4.4.7 原根和离散对数239

练习240

4.5 同余应用243

4.5.1 散列函数243

4.5.2 伪随机数244

4.5.3 校验码244

练习246

4.6 密码学248

4.6.1 引言248

4.6.2 古典密码学248

4.6.3 公钥密码学251

4.6.4 RSA密码系统251

4.6.5 RSA加密252

4.6.6 RSA解密253

4.6.7 用RSA作为公钥系统254

4.6.8 密码协议254

练习255

关键术语和结论257

复习题259

补充练习260

计算机课题262

计算和探索262

写作课题263

第5章 归纳与递归264

5.1 数学归纳法264

5.1.1 引言264

5.1.2 数学归纳法265

5.1.3 为什么数学归纳法是有效的266

5.1.4 数学归纳法的优点与缺点266

5.1.5 利用数学归纳法证明的例子266

5.1.6 使用数学归纳法时犯的错误275

5.1.7 运用数学归纳法证明的原则276

练习276

5.2 强归纳法与良序性281

5.2.1 引言281

5.2.2 强归纳法282

5.2.3 利用强归纳法证明的例子283

5.2.4 计算几何学中使用强归纳法285

5.2.5 利用良序性证明287

练习288

5.3 递归定义与结构归纳法291

5.3.1 引言291

5.3.2 递归地定义函数291

5.3.3 递归地定义集合与结构294

5.3.4 结构归纳法298

5.3.5 广义归纳法300

练习300

5.4 递归算法305

5.4.1 引言305

5.4.2 证明递归算法的正确性307

5.4.3 递归与迭代308

5.4.4 归并排序309

练习312

5.5 程序正确性314

5.5.1 引言314

5.5.2 程序验证314

5.5.3 推理规则315

5.5.4 条件语句315

5.5.5 循环不变量316

练习318

关键术语和结论319

复习题320

补充练习321

计算机课题325

计算和探索325

写作课题326

第6章 计数327

6.1 计数的基础327

6.1.1 引言327

6.1.2 基本的计数原则327

6.1.3 比较复杂的计数问题331

6.1.4 减法法则（两个集合的容斥原理）332

6.1.5 除法法则333

6.1.6 树图333

练习334

6.2 鸽巢原理338

6.2.1 引言338

6.2.2 广义鸽巢原理339

6.2.3 鸽巢原理的几个简单应用341

练习342

6.3 排列与组合344

6.3.1 引言344

6.3.2 排列345

6.3.3 组合346

练习348

6.4 二项式系数和恒等式351

6.4.1 二项式定理351

6.4.2 帕斯卡恒等式和三角形353

6.4.3 其他的二项式系数恒等式354

练习355

6.5 排列与组合的推广358

6.5.1 引言358

6.5.2 有重复的排列358

6.5.3 有重复的组合358

6.5.4 具有不可区别物体的集合的排列361

6.5.5 把物体放入盒子362

练习364

6.6 生成排列和组合367

6.6.1 引言367

6.6.2 生成排列368

6.6.3 生成组合369

练习370

关键术语和结论371

复习题372

补充练习373

计算机课题376

计算和探索376

写作课题377

第7章 离散概率378

7.1 离散概率引论378

7.1.1 引言378

7.1.2 有限概率378

7.1.3 事件组合的概率381

7.1.4 概率的推理381

练习382

7.2 概率论384

7.2.1 引言384

7.2.2 概率指派384

7.2.3 事件的组合385

7.2.4 条件概率386

7.2.5 独立性387

7.2.6 伯努利试验与二项分布388

7.2.7 随机变量389

7.2.8 生日问题390

7.2.9 蒙特卡罗算法391

7.2.10 概率方法392

练习393

7.3 贝叶斯定理396

7.3.1 引言396

7.3.2 贝叶斯定理396

7.3.3 贝叶斯垃圾邮件过滤器399

练习401

7.4 期望值和方差403

7.4.1 引言403

7.4.2 期望值404

7.4.3 期望的线性性质405

7.4.4 平均情形下的计算复杂度407

7.4.5 几何分布408

7.4.6 独立随机变量409

7.4.7 方差410

7.4.8 切比雪夫不等式413

练习414

关键术语和结论416

复习题417

补充练习418

计算机课题422

计算和探索422

写作课题422

第8章 高级计数技术424

8.1 递推关系的应用424

8.1.1 引言424

8.1.2 用递推关系构造模型425

8.1.3 算法与递推关系429

练习431

8.2 求解线性递推关系435

8.2.1 引言435

8.2.2 求解常系数线性齐次递推关系436

8.2.3 常系数线性非齐次的递推关系439

练习441

8.3 分治算法和递推关系444

8.3.1 引言444

8.3.2 分治递推关系445

练习450

8.4 生成函数452

8.4.1 引言452

8.4.2 关于幂级数的有用事实452

8.4.3 计数问题与生成函数455

8.4.4 使用生成函数求解递推关系458

8.4.5 使用生成函数证明恒等式459

练习459

8.5 容斥464

8.5.1 引言464

8.5.2 容斥原理464

练习467

8.6 容斥原理的应用468

8.6.1 引言468

8.6.2 容斥原理的另一种形式469

8.6.3 埃拉托色尼筛469

8.6.4 映上函数的个数470

8.6.5 错位排列471

练习472

关键术语和结论473

复习题474

补充练习475

计算机课题478

计算和探索478

写作课题479

第9章 关系480

9.1 关系及其性质480

9.1.1 引言480

9.1.2 函数作为关系481

9.1.3 集合的关系481

9.1.4 关系的性质482

9.1.5 关系的组合484

练习485

9.2 n元关系及其应用489

9.2.1 引言489

9.2.2 n元关系489

9.2.3 数据库和关系490

9.2.4 n元关系的运算491

9.2.5 SQL493

练习493

9.3 关系的表示495

9.3.1 引言495

9.3.2 用矩阵表示关系495

9.3.3 用图表示关系497

练习498

9.4 关系的闭包500

9.4.1 引言500

9.4.2 闭包501

9.4.3 有向图中的路径501

9.4.4 传递闭包502

9.4.5 沃舍尔算法505

练习507

9.5 等价关系509

9.5.1 引言509

9.5.2 等价关系509

9.5.3 等价类510

9.5.4 等价类与划分512

练习514

9.6 偏序518

9.6.1 引言518

9.6.2 字典顺序520

9.6.3 哈塞图521

9.6.4 极大元与极小元522

9.6.5 格524

9.6.6 拓扑排序525

练习527

关键术语和结论532

复习题533

补充练习534

计算机课题538

计算和探索538

写作课题538

第10章 图540

10.1 图和图模型540

10.1.1 图模型543

练习546

10.2 图的术语和几种特殊的图549

10.2.1 引言549

10.2.2 基本术语549

10.2.3 一些特殊的简单图551

10.2.4 二分图552

10.2.5 二分图和匹配553

10.2.6 特殊类型图的一些应用556

10.2.7 从旧图构造新图557

练习559

10.3 图的表示和图的同构563

10.3.1 引言563

10.3.2 图的表示563

10.3.3 邻接矩阵563

10.3.4 关联矩阵565

10.3.5 图的同构566

10.3.6 判定两个简单图是否同构566

练习568

10.4 连通性573

10.4.1 引言573

10.4.2 通路573

10.4.3 无向图的连通性575

10.4.4 图是如何连通的576

10.4.5 有向图的连通性578

10.4.6 通路与同构579

10.4.7 计算顶点之间的通路数580

练习580

10.5 欧拉通路与哈密顿通路585

10.5.1 引言585

10.5.2 欧拉通路与欧拉回路585

10.5.3 哈密顿通路与哈密顿回路589

10.5.4 哈密顿回路的应用592

练习593

10.6 最短通路问题597

10.6.1 引言597

10.6.2 最短通路算法599

10.6.3 旅行商问题603

练习604

10.7 平面图607

10.7.1 引言607

10.7.2 欧拉公式609

10.7.3 库拉图斯基定理611

练习612

10.8 图着色614

10.8.1 引言614

10.8.2 图着色的应用618

练习619

关键术语和结论622

复习题625

补充练习626

计算机课题630

计算和探索631

写作课题631

第11章 树633

11.1 树的概述633

11.1.1 有根树634

11.1.2 树作为模型637

11.1.3 树的性质638

练习641

11.2 树的应用643

11.2.1 引言643

11.2.2 二叉搜索树643

11.2.3 决策树646

11.2.4 前缀码647

11.2.5 博弈树649

练习653

11.3 树的遍历656

11.3.1 引言656

11.3.2 通用地址系统656

11.3.3 遍历算法657

11.3.4 中缀、前缀和后缀记法662

练习665

11.4 生成树667

11.4.1 引言667

11.4.2 深度优先搜索669

11.4.3 宽度优先搜索671

11.4.4 回溯的应用672

11.4.5 有向图中的深度优先搜索674

练习675

11.5 最小生成树678

11.5.1 引言678

11.5.2 最小生成树算法678

练习681

关键术语和结论683

复习题685

补充练习686

计算机课题688

计算和探索689

写作课题689

第12章 布尔代数690

12.1 布尔函数690

12.1.1 引言690

12.1.2 布尔表达式和布尔函数691

12.1.3 布尔代数恒等式692

12.1.4 对偶性694

12.1.5 布尔代数的抽象定义694

练习695

12.2 布尔函数的表示696

12.2.1 积之和展开式696

12.2.2 函数完备性698

练习698

12.3 逻辑门电路699

12.3.1 引言699

12.3.2 门的组合699

12.3.3 电路的例子700

12.3.4 加法器702

练习703

12.4 电路的极小化704

12.4.1 引言704

12.4.2 卡诺图705

12.4.3 无需在意的条件710

12.4.4 奎因-莫可拉斯基方法712

练习715

关键术语和结论716

复习题718

补充练习718

计算机课题720

计算和探索720

写作课题720

第13章 计算模型722

13.1 语言和文法722

13.1.1 引言722

13.1.2 短语结构文法723

13.1.3 短语结构文法的类型725

13.1.4 派生树726

13.1.5 巴克斯-诺尔范式727

练习728

13.2 带输出的有限状态机732

13.2.1 引言732

13.2.2 带输出的有限状态机733

练习736

13.3 不带输出的有限状态机738

13.3.1 引言738

13.3.2 串的集合738

13.3.3 有限状态自动机738

13.3.4 有限状态机的语言识别739

13.3.5 非确定性的有限状态自动机743

练习746

13.4 语言的识别750

13.4.1 引言750

13.4.2 克莱因定理751

13.4.3 正则集合和正则文法754

13.4.4 一个不能由有限状态自动机识别的集合756

13.4.5 一些更强大的机器756

练习757

13.5 图灵机759

13.5.1 引言759

13.5.2 图灵机的定义760

13.5.3 用图灵机识别集合762

13.5.4 用图灵机计算函数763

13.5.5 不同类型的图灵机763

13.5.6 丘奇-图灵论题764

13.5.7 计算复杂度、可计算性和可判定性764

练习767

关键术语和结论769

复习题770

补充练习771

计算机课题773

计算和探索773

写作课题773

附录A 实数和正整数的公理775

附录B 指数与对数函数779

附录C 伪代码781

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参考文献789