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第一章 奇异同调1

1 范畴与函子1

1.1 范畴1

1.2 协变函子2

1.3 反变函子3

1.4 简单的推论4

2 链复形与链映射5

2.1 链复形及其同调群5

2.2 链映射及其诱导同态6

2.3 链同伦7

3 奇异同调群8

3.1 奇异单形8

3.2 奇异链复形与奇异同调群9

3.3 简约奇异同调群13

3.4 奇异同调的同伦不变性14

3.5 与基本群的关系18

3.6 u-小奇异链19

4 Mayer-Vietoris同调序列22

4.1 同调代数的基本知识22

4.2 Mayer-Vietoris同调序列26

5 球面Sn的拓扑性质29

5.1 球面Sn的同调群30

5.2 球面映射的度31

5.3 Jordan-Brouwer分离性33

6 映射的简约同调序列36

6.1 贴空间36

6.2 映射的简约同调序列39

6.3 粘贴胞腔41

6.4 射影空间的同调群43

第二章 相对同调与上同调45

1 相对同调群45

1.1 空间偶的相对同调群45

1.2 切除定理49

1.3 空间三元组的同调序列53

2 局部同调群，局部定向与映射度55

2.1 局部同调群55

2.2 流形的局部定向56

2.3 胞腔和球面的定向58

2.4 有向球面的映射度59

3 带系数的同调群61

3.1 自由Abel群的张量积函子-？G61

3.2 Abel群的张量积63

3.3 协变函子-？G66

3.4 带系数的奇异链复形和奇异同调群67

3.5 Eilenberg-Steenrod公理70

3.6 简约同调群的公理72

4 上同调群74

4.1 同态群Hom(4,B)74

4.2 反变函子Hom(-,G)75

4.3 上链复形与上同调群76

4.4 奇异上同调群78

4.5 用上链直接描述80

4.6 上同调的Eilenberg-Steenrod公理82

4.7 上下同调群的Kronecker积83

4.8 域系数的奇异链群与同调群87

4.9 de Rham定理简介90

第三章 胞腔同调93

1 胞腔复形与胞腔映射93

1.1 胞腔复形93

1.2 胞腔映射97

1.3 拓扑空间的CW逼近97

2 胞腔链复形与胞腔链映射99

3 胞腔同调定理103

3.1 胞腔同调定理103

3.2 胞腔同调定理的推论105

3.3 带系数的胞腔同调与胞腔上同调108

3.4 单纯复形与单纯映射109

3.5 单纯链复形与单纯链映射111

3.6 有序单纯复形113

4 胞腔同调的计算114

4.1 胞腔的定向114

4.2 胞腔链群的基115

4.3 胞腔链映射的描述115

4.4 胞腔边缘同态的描述116

4.5 实射影空间的同调群118

4.6 乘积复形的胞腔链复形120

5 Euler示性数与Morse不等式122

5.1 有限生成Abel群的构造定理122

5.2 整数系数的情形123

5.3 域系数的情形125

5.4 Morse临界点理论介绍126

6 自由链复形129

6.1 自由Abel群的特殊性质130

6.2 自由链复形的特殊性质130

6.3 代数映射锥131

6.4 从同调同态构作链映射133

6.5 定理6.1的证明134

7 万有系数定理135

7.1 初等链复形的同调136

7.2 万有系数定理的朴素形式138

7.3 域系数的情形138

7.4 对偶配对与对偶基139

第四章 乘积142

1 复形的乘积142

1.1 自由链复形的张量积142

1.2 Künneth公式144

1.3 胞腔复形的乘积146

1.4 下同调类的张量积148

1.5 上同调类的张量积149

1.6 上下同调类的斜积150

1.7 胞腔同调中，同调类的乘积152

2 胞腔上同调中的上积与卡积152

2.1 上积153

2.2 卡积155

2.3 闭单形的棱柱剖分156

2.4 Alexander-Whitney链映射158

3 奇异上同调中的乘法159

3.1 奇异上链的上积与卡积159

3.2 在上同调的水平上，上积与卡积的基本性质163

3.3 分次环与分次模，上同调环与下同调模164

3.4 上同调环的交换性165

3.5 准单纯复形中的上积与卡积168

4 实射影空间的上同调环，Borsuk-Ulam定理172

4.1 实射影空间的上同调环172

4.2 Borsuk-Ulam定理174

5 乘积空间的奇异同调176

5.1 积空间的奇异同调，Eilenberg-Zilber定理176

5.2 奇异上同调的叉积178

5.3 乘积空间的上积179

5.4 空间偶的乘积181

6 相对上同调的上积182

6.1 相对上同调的上积182

6.2 Ljusternik-Schnierelman畴数184

第五章 流形187

1 正则胞腔复形188

1.1 正则胞腔复形的定义188

1.2 重心重分189

1.3 重分链映射192

1.4 环绕复形与对偶块194

1.5 交链——卡积的几何解释195

1.6 星形，正则胞腔复形的局部构造199

1.7 正则邻域202

2 流形，Poincaré对偶定理203

2.1 胞腔流形的定义203

2.2 对偶剖分205

2.3 胞腔流形的定向206

2.4 对偶胞腔的定向207

2.5 Poincaré对偶定理208

2.6 强连通性211

2.7 上积是对偶配对212

3 交积，相交数216

3.1 交积216

3.2 相交数218

3.3 转移同态220

4 Lefschetz不动点定理222

4.1 积流形上的交积222

4.2 对角线同调类223

4.3 有向流形上的不动点224

4.4 多面体的Lefschetz不动点定理227

5 相对流形，Lefschetz和Alexander对偶定理228

5.1 相对胞腔流形的定义228

5.2 相对胞腔流形的定向229

5.3 Lefschetz对偶定理230

5.4 Alexander对偶定理231

5.5 球面的Alexander对偶定理232

6 带边流形，Lefschetz对偶定理233

6.1 带边胞腔流形的定义233

6.2 带边流形的Lefschetz对偶定理235

6.3 流形的配边问题236

6.4 微分流形的配边理论简介239

7 子流形，Thom同构定理242

7.1 Thom类和Thom同构定理242

7.2 Euler类246

7.3 Gysin序列247

7.4 对角线的Thom类248

参考文献251

记号表253

索引255