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第1章 数值计算导论1

1.1 概述1

1.1.1 数值计算与数值算法1

1.1.2 数值计算的问题与策略2

1.1.3 数值计算软件4

1.2 误差分析基础6

1.2.1 数值计算的近似6

1.2.2 误差及其分类7

1.2.3 问题的敏感性与数据传递误差估算11

1.2.4 算法的稳定性13

1.3 计算机浮点数系统与舍入误差15

1.3.1 计算机浮点数系统15

1.3.2 舍入与机器精度18

1.3.3 浮点运算的舍入误差19

1.3.4 抵消现象21

1.4 保证数值计算的准确性22

1.4.1 减少舍入误差的几条建议22

1.4.2 影响结果准确性的主要因素24

评注25

算法背后的历史：浮点运算的先驱——威廉·卡亨26

练习题28

上机题29

第2章 非线性方程求根30

2.1 引言30

2.1.1 非线性方程的解30

2.1.2 问题的敏感性31

2.2 二分法31

2.2.1 方法原理31

2.2.2 算法稳定性和结果准确度33

2.3 不动点迭代法35

2.3.1 基本原理35

2.3.2 全局收敛的充分条件36

2.3.3 局部收敛性38

2.3.4 稳定性与收敛阶38

2.4 牛顿迭代法40

2.4.1 方法原理40

2.4.2 重根的情况42

2.4.3 判停准则43

2.4.4 牛顿法的问题43

2.5 割线法与抛物线法44

2.5.1 割线法44

2.5.2 抛物线法46

2.6 实用的方程求根技术46

2.6.1 阻尼牛顿法46

2.6.2 多项式方程求根47

2.6.3 通用求根算法zeroin48

应用实例：城市水管应埋于地下多深？50

2.7 非线性方程组和有关数值软件52

2.7.1 非线性方程组52

2.7.2 非线性方程求根的相关软件54

评述55

算法背后的历史：牛顿与牛顿法56

练习题57

上机题58

第3章 线性方程组的直接解法59

3.1 基本概念与问题的敏感性59

3.1.1 线性代数中的有关概念59

3.1.2 向量范数与矩阵范数62

3.1.3 问题的敏感性与矩阵条件数65

3.2 高斯消去法69

3.2.1 基本的高斯消去法69

3.2.2 高斯-约当消去法72

3.3 矩阵的LU分解75

3.3.1 高斯消去过程的矩阵形式75

3.3.2 矩阵的直接LU分解算法79

3.3.3 LU分解的用途82

3.4 选主元技术与算法稳定性83

3.4.1 为什么要选主元83

3.4.2 使用部分主元技术的LU分解85

3.4.3 其他选主元技术89

3.4.4 算法的稳定性90

3.5 对称正定矩阵与带状矩阵的解法91

3.5.1 对称正定矩阵的Cholesky分解91

3.5.2 带状线性方程组的解法95

应用实例：稳态电路的求解97

3.6 有关稀疏线性方程组的实用技术99

3.6.1 稀疏矩阵基本概念99

3.6.2 MATLAB中的相关功能102

3.7 有关数值软件104

评述106

算法背后的历史：威尔金森与数值分析107

练习题108

上机题110

第4章 线性方程组的迭代解法112

4.1 迭代解法的基本理论112

4.1.1 基本概念112

4.1.2 1阶定常迭代法的收敛性113

4.1.3 收敛阶与收敛速度116

4.2 经典迭代法118

4.2.1 雅可比迭代法118

4.2.2 高斯-赛德尔迭代法119

4.2.3 逐次超松弛迭代法121

4.2.4 三种迭代法的收敛条件123

应用实例：桁架结构的应力分析126

4.3 共轭梯度法简介128

4.3.1 最速下降法128

4.3.2 共轭梯度法131

4.4 各种方法的比较135

4.4.1 迭代法之间的比较135

4.4.2 直接法与迭代法的对比138

4.5 有关数值软件139

评述140

算法背后的历史：雅可比142

练习题143

上机题144

第5章 矩阵特征值计算146

5.1 基本概念与特征值分布146

5.1.1 基本概念与性质146

5.1.2 特征值分布范围的估计150

5.2 幂法与反幂法152

5.2.1 幂法152

5.2.2 加速收敛的方法156

5.2.3 反幂法158

应用实例：Google的PageRank算法160

5.3 矩阵的正交三角化162

5.3.1 Householder变换163

5.3.2 Givens旋转变换165

5.3.3 矩阵的QR分解166

5.4 所有特征值的计算与QR算法170

5.4.1 收缩技术170

5.4.2 基本QR算法171

5.4.3 实用QR算法的有关技术173

5.5 有关数值软件177

评述178

算法背后的历史：A.Householder与矩阵分解179

练习题180

上机题183

第6章 函数逼近与函数插值185

6.1 函数逼近的基本概念185

6.1.1 函数空间185

6.1.2 函数逼近的不同类型188

6.2 连续函数的最佳平方逼近190

6.2.1 一般的法方程方法190

6.2.2 用正交函数族进行逼近194

6.3 曲线拟合的最小二乘法197

6.3.1 问题的矩阵形式与法方程法198

6.3.2 用正交化方法求解最小二乘问题202

应用实例：原子弹爆炸的能量估计206

6.4 函数插值与拉格朗日插值法207

6.4.1 插值的基本概念207

6.4.2 拉格朗日插值法208

6.4.3 多项式插值的误差估计211

6.5 牛顿插值法213

6.5.1 基本思想213

6.5.2 差商与牛顿插值公式214

6.6 分段多项式插值219

6.6.1 高次多项式插值的病态性质219

6.6.2 分段线性插值220

6.6.3 分段埃尔米特插值221

6.6.4 保形分段插值224

6.7 样条插值函数226

6.7.1 三次样条插值226

6.7.2 三次样条插值函数的构造227

6.7.3 B-样条函数229

评述232

算法背后的历史：拉格朗日与插值法233

练习题234

上机题236

第7章 数值积分与数值微分238

7.1 数值积分概论238

7.1.1 基本思想238

7.1.2 求积公式的积分余项与代数精度240

7.1.3 求积公式的收敛性与稳定性241

7.2 牛顿-柯特斯公式242

7.2.1 柯特斯系数与几个低阶公式242

7.2.2 牛顿-柯特斯公式的代数精度244

7.2.3 几个低阶公式的余项245

7.3 复合求积公式246

7.3.1 复合梯形公式246

7.3.2 复合辛普森公式247

7.3.3 步长折半的复合求积公式计算249

7.4 Romberg积分算法250

7.4.1 复合梯形公式的余项展开式250

7.4.2 理查森外推法251

7.4.3 Romberg算法252

7.5 自适应积分算法254

7.5.1 自适应积分的原理255

7.5.2 一个具体的自适应积分算法255

7.6 高斯求积公式258

7.6.1 一般理论258

7.6.2 高斯-勒让德积分公式及其他261

应用实例：探月卫星轨道长度计算263

7.7 数值微分264

7.7.1 基本的有限差分公式265

7.7.2 插值型求导公式266

7.7.3 数值微分的外推算法268

评述269

算法背后的历史：“数学王子”高斯271

练习题272

上机题273

第8章 常微分方程初值问题的解法275

8.1 引言275

8.1.1 问题分类与可解性275

8.1.2 问题的敏感性276

8.2 简单的数值解法与有关概念278

8.2.1 欧拉法278

8.2.2 数值解法的稳定性与准确度280

8.2.3 向后欧拉法与梯形法282

8.3 龙格-库塔方法284

8.3.1 基本思想284

8.3.2 几种显式R-K公式285

8.3.3 显式R-K公式的稳定性与收敛性289

8.3.4 自动变步长的R-K方法290

8.4 多步法292

8.4.1 多步法公式的推导292

8.4.2 Adams公式295

8.4.3 更多讨论298

8.5 常微分方程组与实用技术299

8.5.1 1阶常微分方程组299

8.5.2 MATLAB中的实用ODE求解器302

应用实例：洛伦兹吸引子306

评述308

算法背后的历史：“数学家之英雄”欧拉309

练习题310

上机题312

附录A 有关数学记号的说明314

附录B MATLAB简介316

附录C 部分习题答案336

算法索引339

术语索引341

参考文献349