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第1章 行列式1

1.1 行列式的定义、性质与公式1

1.1.1 行列式的定义1

1.1.2 行列式的性质1

1.1.3 行列式中的常用公式2

1.1.4 判断行列式是否为零的常用方法4

1.2 定义法4

1.3 化三角形法5

1.3.1 对角线以下（上）的元素与某行（列）对应元素成比例5

1.3.2 行列式各行（列）元素的和都相同6

1.3.3 行列式的行（列）递进转化7

1.4 Vandermonde行列式法8

1.4.1 利用性质将行列式化成Vandermonde行列式8

1.4.2 行列式的元素为乘积之和或能展成乘积之和9

1.4.3 行列式形似Vandermonde行列式但变量缺少一方幂10

1.4.4 Vandermonde行列式在数学分析中的应用12

1.5 分裂行列式法14

1.5.1 拆成和14

1.5.2 拆成积15

1.6 加边法16

1.7 降阶法19

1.7.1 造零法19

1.7.2 利用行列式的降阶定理计算行列式20

1.8 递推法22

1.8.1 直接递推法23

1.8.2 间接递推法24

1.9 数学归纳法26

1.10 作辅助行列式法28

习题129

第2章 矩阵理论32

2.1 标准单位向量及其应用32

2.2 分块矩阵的初等变换与矩阵的秩35

2.2.1 矩阵的初等变换与分块矩阵的初等变换35

2.2.2 矩阵秩的求法38

2.2.3 矩阵秩的等式与不等式39

2.3 可逆矩阵与伴随矩阵45

2.3.1 逆矩阵46

2.3.2 伴随矩阵52

2.4 矩阵的三种等价关系56

2.4.1 三种等价关系的定义56

2.4.2 性质56

2.5 矩阵的特征值、特征向量与对角化61

2.5.1 矩阵的特征值与特征多项式61

2.5.2 矩阵的迹（trace）70

2.5.3 矩阵的最小多项式76

2.5.4 矩阵的对角化77

2.6 多项式矩阵的Smith标准形及其应用88

2.6.1 多项式矩阵及其行列式88

2.6.2 多项式矩阵的初等变换与初等矩阵89

2.6.3 多项式矩阵的Smith标准形90

2.6.4 同时求矩阵的特征根和特征向量及可对角化判定92

2.7 矩阵的分解94

2.7.1 矩阵的积因子分解94

2.7.2 和因子分解119

2.8 几种特殊的矩阵122

2.8.1 准对角矩阵122

2.8.2 上（下）三角阵123

2.8.3 对称矩阵与反对称矩阵124

2.8.4 幂等矩阵128

2.8.5 幂零矩阵130

2.8.6 对合矩阵133

2.8.7 正交矩阵135

习题2137

第3章 线性方程组143

3.1 Cramer法则143

3.2 齐次线性方程组145

3.2.1 齐次线性方程组有非零解的充要条件145

3.2.2 齐次线性方程组的基础解系及其有关证明147

3.2.3 齐次线性方程组的反问题151

3.2.4 基础解系的简便求法152

3.3 非齐次线性方程组154

3.3.1 线性方程组有解的判别定理154

3.3.2 非齐次线性方程组解的结构155

3.3.3 非齐次线性方程组的简便解法158

习题3161

第4章 多项式164

4.1 多项式的整除164

4.1.1 带余除法164

4.1.2 整除的定义及性质168

4.2 最大公因式与最小公倍式170

4.2.1 最大公因式的定义与性质170

4.2.2 多项式的互素176

4.2.3 最小公倍式182

4.2.4 多项式最大公因式与最小公倍式的矩阵求法185

4.3 不可约多项式与因式分解189

4.3.1 不可约多项式189

4.3.2 因式分解192

4.4 多项式函数与多项式的根197

4.4.1 多项式函数197

4.4.2 多项式的根197

4.4.3 多项式的根与系数的关系202

4.4.4 n次单位根203

4.4.5 有理根205

习题4205

第5章 二次型理论208

5.1 二次型的基础理论208

5.1.1 二次型线性空间与对称矩阵空间同构208

5.1.2 二次型的标准形208

5.1.3 二次型的规范形（或正规形）211

5.2 正定二次型221

5.2.1 正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义221

5.2.2 正定矩阵等的判定222

5.2.3 关于正定矩阵的一些重要结论230

5.2.4 正定与半正定矩阵的应用235

习题5251

第6章 线性空间254

6.1 线性空间254

6.1.1 线性空间的定义254

6.1.2 线性空间的简单性质255

6.2 向量的线性关系255

6.2.1 线性组合与线性表示255

6.2.2 线性相关与线性无关256

6.2.3 向量组的等价259

6.2.4 极大线性无关组260

6.2.5 Fn中向量线性关系的计算问题261

6.2.6 一般线性空间中向量组的极大无关组的求法264

6.3 基、维数、坐标266

6.3.1 基、维数、坐标266

6.3.2 基变换与坐标变换269

6.4 子空间及其交与和273

6.4.1 子空间&.273

6.4.2 生成子空间278

6.4.3 子空间的交与和285

6.4.4 同时求生成子空间交与和的基289

6.4.5 子空间的直和292

6.4.6 余子空间301

6.5 欧氏空间303

6.5.1 向量的内积303

6.5.2 度量矩阵与标准正交基305

6.5.3 Schmidt标准正交化过程312

6.5.4 Rm中向量组的标准正交化与矩阵的正交三角分解313

6.5.5 欧氏空间的子空间317

6.6 线性空间的同构322

6.6.1 同构映射与线性空间同构的定义322

6.6.2 同构映射的性质322

习题6325

第7章 线性变换328

7.1 线性变换的定义、运算与矩阵328

7.1.1 线性变换的定义及其性质328

7.1.2 线性变换的运算330

7.1.3 线性变换的矩阵332

7.1.4 线性变换的核与值域335

7.2 不变子空间、特征根与特征向量344

7.2.1 不变子空间344

7.2.2 线性变换的特征根与特征向量349

7.2.3 特征子空间355

7.2.4 线性变换的对角化362

7.3 正交变换、对称变换与反对称变换369

7.3.1 正交变换369

7.3.2 对称变换374

7.3.3 反对称变换381

7.3.4 正交变换、对称变换及反对称变换的关系381

7.4 线性变换与矩阵一一对应的应用383

7.4.1 用矩阵理论证明线性变换的问题383

7.4.2 用线性变换的理论证明矩阵问题385

7.4.3 矩阵和线性变换交替使用388

习题7388

习题答案与提示394

参考文献452

索引453

《大学数学科学丛书》已出版书目458