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第1部分 单变量函数逼近论3

第1章 赋范线性空间中的逼近问题引论3

1.1 逼近问题的提出3

1.2 最佳逼近元的存在唯一性4

1.2.1 存在性4

1.2.2 凸集7

1.2.3 唯一性8

1.2.4 匀凸空间11

1.3 表征定理与对偶关系17

1.4 距离投影算子19

第2章 一致逼近23

2.1 Weierstrass-Stone定理23

2.2 正线性算子理论27

2.3 广义多项式的一致逼近31

2.3.1 最佳逼近的表征定理32

2.3.2 Haar空间39

2.3.3 最佳逼近的交错定理42

2.3.4 唯一性问题46

2.3.5 最佳逼近函数的计算49

第3章 线性插值57

3.1 线性插值问题57

3.1.1 问题的提出57

3.1.2 线性投影的计算58

3.2 线性插值的误差63

3.2.1 Lebesgue不等式64

3.2.2 极小线性投影65

3.2.3 线性投影算子的范数68

3.2.4 多项式插值节点的最优选择71

3.3 从？到？的极小投影78

3.4 从C［a,b］到Pn的线性投影算子的下界82

3.5 线性投影算子的收敛性质84

第4章 多项式的性质和平滑模87

4.1 多项式的性质87

4.1.1 Bernstein不等式87

4.1.2 Markov不等式90

4.2 连续模92

4.3 平滑模94

第5章 最佳逼近的定量理论98

5.1 周期函数类上最佳逼近的正逆定理98

5.1.1 Jackson型定理99

5.1.2 Bernstein逆定理105

5.2 代数多项式的逼近阶111

5.2.1 Jackson定理111

5.2.2 Nikolsky-Timan定理112

5.3 代数多项式的点态逆定理114

第6章 最小平方逼近121

6.1 最佳逼近121

6.2 正交函数系123

6.3 正交多项式的性质130

6.4 正交展开的收敛性137

第7章 有理逼近141

7.1 最佳有理逼近的存在性142

7.2 最佳逼近的特征146

7.3 最佳有理逼近的唯一性154

7.4 最佳有理逼近的算法155

7.5 Padé逼近介绍158

第2部分 单变量样条函数169

第8章 多项式样条的基本空间169

8.1 定义、维数和基函数169

8.2 局部基的构造171

第9章 B样条及其性质178

9.1 差商及其主要性质178

9.2 B样条的定义及其性质189

9.2.1 B样条的定义189

9.2.2 B样条的性质191

9.2.3 扩充分割206

9.3 等距节点对应的B样条208

9.3.1 定义208

9.3.2 性质209

第10章 样条函数的计算218

10.1 样条函数及其导数值的计算218

10.2 对称多项式和开花算法222

10.2.1 多项式的开花222

10.2.2 多项式开花的算法225

第11章 对偶基和样条的零点230

11.1 完全B样条230

11.2 对偶基236

11.3 样条函数零点的性质248

11.3.1 扩充的Rolle定理和多项式的Budan-Fourier定理249

11.3.2 样条函数的零点254

第12章 样条的插值与逼近264

12.1 Tchebycheff系统和弱的Tchebycheff系统264

12.1.1 Tchebycheff系统264

12.1.2 弱的Tchebycheff系统270

12.2 样条插值和变差减缩性质276

12.3 样条逼近285

12.3.1 局部样条逼近方法和到样条空间的距离285

12.3.2 Schoenberg变差减缩样条逼近的阶289

12.3.3 给出最好逼近阶的局部逼近格式293

第13章 其他多项式样条空间介绍298

13.1 周期样条298

13.2 自然样条304

13.3 g样条314

13.4 单样条327

13.5 离散样条335

第3部分 多变量插值与样条函数343

第14章 多元多项式插值343

14.1 多指标符号343

14.2 多元多项式插值问题344

14.2.1 问题的提法344

14.2.2 插值问题的适定性345

14.3 GC条件和Lagrange插值346

14.3.1 自然格点347

14.3.2 基本格点350

14.4 Newton插值和Gasca-Maeztu定理355

14.5 多元多项式的Kergin插值357

14.6 平面上适定节点组的构造364

14.6.1 平面代数曲线的Bézout定理364

14.6.2 适定节点组的构造367

第15章 贯穿剖分上的二元样条函数373

15.1 光滑余因子和协调条件373

15.2 维数公式379

15.3 基函数构造381

15.4 拟贯穿剖分383

第16章 规则剖分下的二元样条函数空间385

16.1 矩形剖分上的样条函数空间385

16.2 Ⅰ型三角剖分上的样条空间385

16.3 Ⅱ型三角剖分上样条函数空间394

第17章 任意三角剖分上的样条空间412

17.1 B网方法412

17.1.1 B网表示412

17.1.2 连续性条件416

17.2 Morgan-Scott剖分424

17.2.1 剖分的定义425

17.2.2 样条空间的维数425

17.2.3 Diener猜想430

第18章 箱样条432

18.1 二元箱样条432

18.1.1 一元规范B样条的性质回顾432

18.1.2 二元箱样条及其性质435

18.1.3 Rs中的箱样条444

18.2 多面体样条简介453

参考文献455

索引456