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第一章 行列式1

一、知识背景及应用1

1.1 知识背景1

1.2 应用1

1.2.1 行列式在求解线性方程组中的应用1

1.2.2 行列式在求逆矩阵中的应用（见第二章 ）2

1.2.3 行列式在多项式理论中的应用2

1.2.4 行列式在高等数学中的应用2

1.2.5 行列式在几何中的应用3

二、知识框架5

2.1 排列的逆序数5

2.2 排列的性质5

2.3 行列式5

2.3.1 几种特殊的行列式6

2.3.2 代数余子式7

2.3.3 行列式的性质7

2.3.4 重要结论9

三、解题方法总结12

3.1 行列式的计算12

3.2 已知一个行列式的值，计算另一个行列式18

3.3 讨论齐次线性方程组有非零解的问题18

3.4 解特殊线性方程组19

四、容易混淆的问题及常见错误21

4.1 对行列式的项的构成和符号确定方面21

4.2 计算行列式中某字母的系数21

五、考研题选编23

第二章 矩阵27

一、知识背景及应用27

1.1 知识背景27

1.2 知识应用27

1.2.1 在几何中的应用27

1.2.2 在线性方程组中的应用28

1.2.3 在日常生活中的应用29

二、知识框架31

2.1 矩阵及相等31

2.2 运算32

2.3 方阵的行列式33

2.3.1 转置矩阵34

2.3.2 对称矩阵和反对称矩阵34

2.3.3 伴随矩阵34

2.4 逆矩阵35

2.5 分块矩阵36

2.6 矩阵的特殊分块及计算36

2.6.1 分块上（下）三角矩阵36

2.6.2 分块对角矩阵37

2.7 初等变换与初等矩阵38

2.7.1 初等变换38

2.7.2 初等矩阵39

2.7.3 可逆矩阵与初等变换39

2.7.4 矩阵的等价39

三、解题方法总结42

3.1 逆矩阵求法42

3.2 判断矩阵等价43

3.3 矩阵可交换的判别方法44

3.4 证明矩阵可逆44

3.5 求解矩阵方程45

四、容易混淆的问题及常见错误47

4.1 关于矩阵乘法的次序47

4.2 忽略矩阵的乘法不满足消去律47

4.3 计算数乘矩阵的行列式｜kA｜时出错47

4.4 使用矩阵的乘法对加法的分配律时出错48

4.5 忽略行列式必须行数等于列数48

4.6 求伴随矩阵产生的错误48

4.7 解矩阵方程时忽略乘积次序48

五、考研题选编51

第三章 向量组与矩阵的秩54

一、知识背景及应用54

1.1 知识背景54

1.2 应用55

1.2.1 在几何方面55

1.2.2 在代数方面56

二、知识框架58

2.1 向量的线性相关性58

2.2 向量的极大无关组与秩58

2.3 线性表示59

2.4 矩阵的行阶梯形59

2.5 秩60

三、解题方法总结63

3.1 判断一组向量的线性相关性63

3.2 证明一组向量线性无关64

3.3 判断一个向量能否用其他向量表示64

3.4 求向量组的极大无关组65

3.5 求矩阵的秩66

3.6 求给定向量在一组基下的坐标66

3.7 证明两个向量组等价67

3.8 已知A,A,A-1中两个，求另一个67

四、容易混淆的问题及常见错误69

4.1 对矩阵的阶梯形认识错误69

4.1.1 在线性相关性概念及性质方面69

4.1.2 对矩阵秩的概念理解错误70

五、考研题选编72

第四章 线性方程组75

一、知识背景及应用75

1.1 知识背景75

1.2 知识应用75

1.2.1 在向量线性关系中的应用75

1.2.2 在求特征向量中的应用76

1.2.3 在求矩阵的逆矩阵中的应用76

二、知识框架78

2.1 线性方程组及解78

2.2 齐次线性方程组80

2.3 齐次线性方程组解的性质80

2.4 重要定理81

三、解题方法总结85

3.1 求解线性方程组85

3.2 讨论待定系数取何值时齐次方程组有非零解87

3.3 讨论待定系数取何值时非齐次方程组的解88

3.4 证明a1,a2...as为Am×nX=0的一个基础解系88

四、容易混淆的问题及常见错误91

4.1 对于非齐次线性方程组的结构91

4.1.1 解线性方程组时使用的初等变换91

4.1.2 在方程组有解的判断方面92

4.1.3 解方程组时选错自由未知量92

五、考研习题选编95

第五章 特征值与二次型100

一、知识背景及应用100

1.1 知识背景100

1.2 在几何方面的应用101

二、知识框架103

2.1 向量的内积103

2.2 向量的正交性103

2.3 正交矩阵104

2.4 方阵的特征值和特征向量105

2.5 相似矩阵106

2.5.1 矩阵的对角化107

2.5.2 实对称矩阵108

2.6 化二次型为标准型108

2.6.1 二次型及其矩阵表示108

2.6.2 规范型109

2.7 正定二次型110

三、解题方法总结113

3.1 特征值与特征向量的求法113

3.2 判定矩阵A与B相似的方法113

3.3 将矩阵对角化的方法113

3.4 由特征值和特征向量反求矩阵A：A=P∧P-1115

3.5 方阵的幂Ak的计算115

3.6 实对称矩阵正交相似对角化的方法115

3.7 化二次型为标准型的方法116

四、容易混淆的问题及常见错误121

4.1 混淆正交矩阵与正定矩阵的性质121

4.2 判断矩阵对角化方面121

4.3 化二次型为标准型方面121

4.4 正定二次型的判断方面122

4.5 判断矩阵的合同方面122

4.6 混淆相似与合同的性质123

五、考研题选编125