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目录1

第1章 典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简1

1.1　典型方程的导出2

1.1.1 守恒律2

1.1.2　变分原理8

1.2　偏微分方程的基本概念12

1.2.1 定义12

1.2.2　定解条件和定解问题12

1.3　二阶线性偏微分方程的分类与化简14

1.2.3　定解问题的适定性14

1.3.1　两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简15

1.3.2　多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类18

习题20

第2章　分离变量法23

2.1　预备知识23

2.2 特征值问题25

2.2.1　Sturm-Liouville问题25

2.2.2　正交函数系27

2.2.3　Sturm-Liouville问题的一些基本结论28

2.3　有界弦的自由振动28

2.4　有界杆上的热传导问题33

2.5　Laplace方程的定解问题36

2.6　非齐次方程的定解问题39

2.6.1　齐次化原理40

2.6.2　特征展开法43

2.7　非齐次边界条件的处理45

2.8　物理意义，驻波法与共振49

2.9　总结51

习题52

第3章　积分变换法57

3.1　Fourier变换57

3.2.1　一维热传导方程的初值问题62

3.2　Fourier变换的应用62

3.2.2　高维热传导方程的初值问题67

3.2.3　一维弦振动方程的初值问题68

3.3　半无界问题：对称延拓法71

3.3.1　热传导方程的半无界问题71

3.3.2　半无界弦的振动问题73

3.4　Laplace变换75

3.4.1　Laplace变换的概念75

3.4.2　Laplace变换的性质76

3.4.3　Laplace变换的应用78

习题80

第4章 波动方程的特征线法、球面平均法和降维法84

4.1　齐次弦振动方程的初值问题，d'Alembert公式84

4.2　物理意义87

4.3　三维波动方程的初值问题——球面平均法和Poisson公式88

4.3.1　三维波动方程的球对称解88

4.3.2　三维波动方程的Poisson公式89

4.3.3　非齐次方程，推迟势92

4.4　二维波动方程的初值问题——降维法94

4.5　依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥97

4.6　Poisson公式的物理意义，Huygens原理99

习题100

第5章　位势方程102

5.1　Green公式与基本解102

5.1.1　Green公式102

5.1.2　基本解的定义103

5.2　调和函数的基本积分公式及一些基本性质105

5.3　Green函数108

5.3.1　Green函数的概念108

5.3.2　Green函数的性质110

5.4.1　球上的Green函数，Poisson公式112

5.4 两种特殊区域上的Green函数及Dirichlet问题的可解性112

5.4.2　上半空间的Green函数，Poisson公式116

5.5　调和函数的进一步性质——Poisson公式的应用118

习题121

第6章　三类典型方程的基本理论124

6.1 双曲型方程124

6.1.1　初值问题的能量不等式，解的适定性124

6.1.2　混合问题的能量模估计与解的适定性129

6.1.3　弱间断线与广义解133

6.2.1　极值原理、最大模估计与解的惟一性138

6.2　椭圆型方程138

6.2.2　能量模估计与解的惟一性144

6.3　抛物型方程146

6.3.1　极值原理与最大模估计146

6.3.2　第一初边值问题147

6.3.3　第三初边值问题148

6.3.4　初值问题的极值原理、解的最大模估计及惟一性150

6.3.5　初边值问题的能量模估计与解的惟一性152

习题154

参考答案159

附录A　积分变换表168

参考文献171