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第1章 函数 极限 连续1

1.1 函数 极坐标1

1.1.1 常量与变量1

1.1.2 邻域2

1.1.3 函数4

1.1.4 极坐标11

习题1.113

1.2 初等函数13

1.2.1 反函数与复合函数13

1.2.2 基本初等函数16

1.2.3 初等函数22

1.2.4 函数模型的建立23

习题1.225

1.3 数列的极限26

1.3.1 数列极限的概念27

1.3.2 收敛数列的性质32

习题1.335

1.4 函数的极限35

1.4.1 函数极限的定义35

1.4.2 函数极限的性质38

1.4.3 无穷小与无穷大39

习题1.443

1.5 极限运算法则44

1.5.1 极限四则运算法则44

1.5.2 复合函数的极限46

习题1.547

1.6 重要极限 无穷小的比较48

1.6.1 极限存在准则48

1.6.2 两个重要极限50

1.6.3 无穷小的比较54

习题1.657

1.7 函数的连续与间断59

1.7.1 连续函数的概念59

1.7.2 函数的间断点62

习题1.765

1.8 连续函数的运算与性质66

1.8.1 连续函数的运算66

1.8.2 连续函数的性质68

习题1.870

模拟考场一71

数学家史话 刘徽与祖冲之72

第2章 导数与微分75

2.1 导数的概念75

2.1.1 引例75

2.1.2 导数的定义78

2.1.3 导数的意义82

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系84

习题2.187

2.2 函数的求导法则88

2.2.1 函数和、差、积、商的求导法则88

2.2.2 反函数的求导法则91

2.2.3 复合函数的求导法则93

2.2.4 求导法则与基本导数公式96

习题2.297

2.3 隐函数与参数式函数的导数98

2.3.1 隐函数的导数98

2.3.2 参数式函数的导数102

2.3.3 相关变化率104

习题2.3106

2.4 高阶导数107

2.4.1 f （x）的n阶导数107

2.4.2 隐函数的二阶导数111

2.4.3 参数式函数的二阶导数112

习题2.4113

2.5 函数的微分114

2.5.1 微分的定义114

2.5.2 微分公式与微分运算法则118

2.5.3 微分形式的不变性119

2.5.4 微分在近似计算中的应用121

习题2.5125

模拟考场二125

数学家史话 科学巨擘——Newton127

第3章 微分中值定理与导数的应用129

3.1 Rolle定理与Lagrange中值定理129

3.1.1 Rolle定理129

3.1.2 Lagrange中值定理131

习题3.1134

3.2 Cauchy中值定理与Taylor中值定理135

3.2.1 Cauchy中值定理135

3.2.2 Taylor中值定理137

3.2.3 Taylor公式的应用140

习题3.2141

3.3 未定式142

3.3.1 0/0型与∞/∞型未定式142

3.3.2 其他形式的未定式145

习题3.3148

3.4 曲线的升降与凹凸性149

3.4.1 函数的单调性与曲线的升降149

3.4.2 曲线的凹凸与拐点154

习题3.4157

3.5 函数的极值与最值158

3.5.1 函数的极值158

3.5.2 函数极值的判定159

3.5.3 函数的最值162

习题3.5164

3.6 函数图形的描绘165

3.6.1 曲线的渐近线165

3.6.2 函数图形的描绘167

习题3.6170

3.7 弧微分与曲率171

3.7.1 弧微分171

3.7.2 曲率172

3.7.3 曲率圆与曲率半径176

习题3.7177

模拟考场三177

数学家史话Lagrange和Cauchy179

第4章 不定积分181

4.1 不定积分的概念与性质181

4.1.1 原函数与不定积分的概念181

4.1.2 不定积分的性质183

4.1.3 基本积分表184

4.1.4 直接积分法186

习题4.1188

4.2 不定积分的换元法189

4.2.1 第一类换元法189

4.2.2 第二类换元法198

习题4.2205

4.3 分部积分法207

习题4.3213

4.4 有理函数的积分214

4.4.1 有理函数的积分214

4.4.2 可化为有理函数的积分218

习题4.4221

4.5 不定积分的综合方法221

习题4.5228

模拟考场四229

数学家史话 符号大师——Leibniz230

第5章 定积分及其应用232

5.1 定积分的概念与性质232

5.1.1 典型问题举例232

5.1.2 定积分的定义234

5.1.3 定积分的性质237

习题5.1239

5.2 微积分基本公式240

5.2.1 变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系241

5.2.2 积分上限的函数及其导数241

5.2.3 Newton-Leibniz公式242

习题5.2247

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法248

5.3.1 定积分的换元积分法248

5.3.2 定积分的分部积分法252

习题5.3255

5.4 广义积分257

5.4.1 无穷限的广义积分257

5.4.2 无界函数的广义积分259

5.4.3 Г函数261

习题5.4263

5.5 定积分的近似计算263

5.5.1 矩形法264

5.5.2 梯形法264

5.5.3 抛物线法264

习题5.5266

5.6 定积分在几何上的应用267

5.6.1 元素分析法267

5.6.2 平面图形的面积268

5.6.3 体积272

5.6.4 平面曲线的孤长277

习题5.6280

5.7 定积分在其他方面的应用281

5.7.1 定积分在物理上的应用281

5.7.2 定积分在轻工业等方面的应用285

习题5.7287

模拟考场五288

数学家史话 数学之神——Archimedes289

第6章 微分方程291

6.1 微分方程的基本概念291

6.1.1 引例291

6.1.2 微分方程的有关概念292

习题6.1295

6.2 可分离变量的微分方程295

6.2.1 可分离变量的微分方程296

6.2.2 齐次微分方程297

6.2.3 可化为齐次微分方程的微分方程299

习题6.2301

6.3 一阶线性微分方程301

6.3.1 一阶线性微分方程301

6.3.2 Bernoulli方程304

习题6.3306

6.4 可降阶的高阶微分方程306

6.4.1 y（n） = f （x）型的微分方程307

6.4.2 y″=f（x，y′）型的微分方程307

6.4.3 y″=f（y，y′）型的微分方程309

习题6.4311

6.5 高阶线性微分方程解的性质和结构311

6.5.1 二阶线性齐次微分方程解的性质和结构312

6.5.2 二阶线性非齐次微分方程解的性质和结构313

习题6.5314

6.6 高阶常系数线性齐次微分方程315

6.6.1 二阶常系数线性齐次微分方程及其解法315

6.6.2 n阶常系数线性齐次微分方程及其解法317

习题6.6318

6.7 高阶常系数线性非齐次微分方程319

6.7.1 f（x）=eλxPm（x）型319

6.7.2 f（x）=eλx[Pl（x）cosωx+ Pn（x）sinωx]323

习题6.7327

6.8 Euler方程327

习题6.8329

6.9 微分方程在轻工业方面的应用329

习题6.9333

模拟考场六334

数学家史话Euler与Bernoulli family335

附录1 Matlab实验338

附录2常用公式355

附录3二阶和三阶行列式360

附录4常用曲线362

习题答案365