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第一章 n阶行列式1

一、行列式定义的运用1

二、直接用行列式性质计算3

三、化为三角行列式6

(一)箭形行列式7

(二)可化为箭形的行列式7

(三)行(列)和相等的行列式9

(四)其它类型10

四、降阶法11

五、升阶法14

六、递推法17

七、数学归纳法22

八、利用范德蒙行列式的结果计算25

九、代数余子式的计算28

习题一30

第二章 矩阵35

一、矩阵的乘法35

二、方阵的幂36

三、方阵的行列式40

四、逆矩阵的计算42

(一)利用定义和运算律求逆矩阵42

(二)利用伴随矩阵求逆矩阵44

(三)用初等变换求逆矩阵46

(四)分块对角阵求逆矩阵47

五、矩阵方程求解50

六、求矩阵的秩52

七、初等方阵与等价矩阵54

八、四分块矩阵的有关结果56

九、一些特殊矩阵59

习题二62

第三章 向量66

一、向量组的线性相关性66

二、求向量组的秩及最大无关组72

(一)逐个选录法72

(二)利用矩阵的秩和子式求最大无关组73

(三)利用矩阵的初等变换求最大无关组74

三、向量组的秩与矩阵的秩的证明76

(一)向量空间的判定80

四、向量空间80

(二)基与维数的求法82

(三)过渡矩阵及向量坐标的求法84

习题三89

第四章 线性方程组91

一、用克莱姆法则求解线性方程组91

二、用消元法求解线性方程组93

三、齐次线性方程组的求解方法95

四、非齐次线性方程组101

五、含参数线性方程组的求解方法103

习题四108

一、向量的内积、长度与夹角111

第五章 矩阵的相似对角化111

二、正交向量组113

三、特征值与特征向量114

四、相似矩阵120

五、正交矩阵122

六、相似对角化的条件及计算126

七、实对称矩阵正交相似于对角阵的计算128

八、可对角化矩阵的应用130

(一)求方阵的幂130

(二)求行列式131

(三)由特征值与特征向量反求矩阵132

(四)判断矩阵是否相似134

九、哈密尔顿—凯莱定理及其应用135

习题五137

第六章 二次型139

一、二次型的矩阵表示及其秩139

二、用正交变换化二次型为标准形141

三、用可逆线性变换化二次型为标准形144

(一)配方法144

(二)矩阵的合同146

(三)初等变换法147

(四)惯性定理和实二次型的规范形149

四、正定二次型与正定矩阵151

习题六157

一、线性空间的判定159

第七章 线性空间与线性变换159

二、线性子空间的判定161

三、线性相关性的判别162

(一)利用定义判别162

(二)利用线性空间的同构判别165

四、基与维数的求法166

(一)按定义求线性(子)空间的基与维数166

(二)生成子空间基与维数的求法167

五、坐标的求法167

(一)待定法167

(二)利用坐标变换公式168

(一)待定法170

六、过渡矩阵的求法170

(二)中介法171

七、线性变换的验证171

八、求线性变换的矩阵173

(一)利用定义求线性变换的矩阵173

(二)用相似关系求线性变换的矩阵174

(三)综合类型175

九、求线性变换运算的矩阵176

十、线性变换的值域与核的求法177

十一、求线性变换的特征值与特征向量179

十二、线性变换的矩阵为对角阵的确定180

习题七182

习题答案及提示184