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第一编 中国数学从兴起到形成一门学科——原始社会到西周时期的数学第一章 中国数学的兴起——原始社会的数学3

第一节 图形观念的形成3

一 图形观念的产生3

二 从方位观念看图形观念5

三 原始的作图工具——规矩准绳6

第二节 数概念的形成与原始的记数方法7

一 数概念的产生7

二 原始的记数方法8

第三节 传说中的数学人物12

一 伏羲12

二 黄帝和隶首12

三 尧、舜、禹和倕13

第四节 从原始社会晚期的社会结构看当时数学的发展14

第二章 数学形成一门学科——夏、商、西周三代的数学16

第一节 十进位值制记数法的形成16

一 甲骨文和金文中的数字16

二 十进位值制记数法21

第二节 数学成为一门学科22

一 社会管理和工作的需要与数学的发展22

二 数学进入教学科目24

三 商高及其所掌握的数学知识24

第二编 中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学29

第三章 春秋至汉代数学概论29

第一节 春秋战国秦汉数学与社会及文化背景29

一 春秋战国数学与社会及文化背景29

二 秦汉数学与社会及文化背景30

第二节 算法式数学在春秋战国时期达到高峰32

一 整数四则运算在春秋时期的普及32

二 分数、比和比例的广泛使用36

三 从先秦文献看春秋战国时代的算法化数学——“九数”38

四 先秦时期的其他数学知识44

第三节 理论思辨倾向——春秋战国数学的新动向49

一 墨家与数学50

二 名家的数学思想59

三 先秦道家等学派的无限思想63

四 春秋战国时期的理性思辨与数学64

第四节 秦简《数》与汉简《算数书》65

一 秦简《数》65

二 《算数书》的体例、表达方式及特点66

三 《算数书》的编纂71

四 《算数书》的内容及其在中国数学史上的地位72

第五节 《周髀算经》和陈子73

一 《周髀算经》73

二 陈子76

第六节 《九章算术》和张苍、耿寿昌77

一 《九章算术》的内容77

二 《九章算术》的体例和编纂77

三 《算数书》与《九章算术》84

四 《九章算术》的特点与弱点及其在世界数学史上的地位86

五 《九章算术》的版本87

六 张苍和耿寿昌93

第七节 其他数学家和数学著作95

一 许商和《许商算术》、《杜忠算术》95

二 尹咸和刘歆95

三 张衡和马续96

第四章 分数、率与盈不足98

第一节 分数及其四则运算法则98

一 分数及其表示98

二 分数四则运算法则99

第二节 今有术与衰分术、均输术106

一 今有术106

二 衰分术108

三 均输术111

第三节 盈不足术112

一 盈不足诸术113

二 盈不足术在一般数学问题中的应用115

第五章 面积、体积、勾股与测望119

第一节 面积119

一 直线形面积119

二 曲线形面积121

三 圆方与方圆123

四 曲面形面积124

第二节 体积125

一 多面体体积125

二 圆体体积135

第三节 勾股定理与解勾股形137

一 勾股定理137

二 解勾股形138

三 勾股数组140

第四节 勾股容方、容圆142

一 勾股容方142

二 勾股容圆142

第五节 测望142

一 一次测望143

二 重差的萌芽143

第六章 开方术、正负术、方程术与数列145

第一节 开方术145

一 开平方术146

二 开立方术149

第二节 方程术与正负术151

一 方程和方程术151

二 损益术154

三 正负术156

第三节 数列160

第三编 中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学第七章 东汉末至唐中叶数学概论165

第一节 汉末魏晋开始的社会变革与汉末至唐中叶的数学165

一 汉末魏晋的社会变革与传统数学理论的奠基165

二 南北朝的社会与数学170

三 隋至唐中叶的社会与数学171

第二节 徐岳《数术记遗》和赵爽《周髀算经注》172

一 刘洪、徐岳与《数术记遗》172

二 赵爽与《周髀算经注》177

第三节 刘徽与《九章算术注》、《海岛算经》178

一 刘徽178

二 《九章算术注》180

三 《海岛算经》183

第四节 南北朝的数学著作和数学家184

一 关于《九章算术》的研究184

二 《孙子算经》185

三 《夏侯阳算经》188

四 《张丘建算经》189

五 祖冲之、祖暅之与《缀术》191

六 甄鸾及其数学著作194

七 其他数学家198

第五节 隋至唐中叶的数学著作和数学家200

一 刘焯200

二 王孝通与《缉古算经》201

三 李淳风等整理十部算经203

四 一行与《大衍历》205

五 边冈206

第六节 隋唐算学馆和明算科206

一 算学馆206

二 明算科207

第七节 大数进法和改进计算工具的尝试208

一 大数进法208

二 改进计算工具的尝试209

第八章 率与齐同原理210

第一节 率的定义和性质210

一 率的定义210

二 率的求法和性质210

第二节 今有术的推广与齐同原理211

一 今有术的推广211

二 齐同原理213

第三节 算术趣题和最小公倍数216

一 算术趣题217

二 直接求解数学难题218

三 最大公约数与最小公倍数的应用219

第九章 勾股、测望和重差220

第一节 解勾股形诸公式的证明220

一 赵爽、刘徽对勾股定理的证明220

二 赵爽、刘徽对解勾股形诸公式的证明221

三 刘徽对勾股数组公式的证明226

四 王孝通对解勾股形问题的拓展226

第二节 勾股容方、容圆公式的证明228

一 借助出入相补原理的证明228

二 借助勾股相与之势不失本率原理的证明229

第三节 重差术230

一 重差诸术230

二 制图六体与数学234

第四节 其他测望问题235

一 《张丘建算经》中的测望问题235

二 《数术记遗注》中的测望问题236

第十章 开方术、方程术的改进、不定问题和数列238

第一节 开方术的几何解释和改进238

一 刘徽关于开方术的几何解释238

二 刘徽和王孝通关于开方式的造术240

三 开方术的改进242

四 刘徽“求微数”与根的近似值245

五 祖冲之的开差幂和开差立246

六 一行的求根公式247

第二节 方程术的进展247

一 刘徽的方程术理论247

二 互乘相消法248

三 方程新术249

四 《孙子算经》和《张丘建算经》中的方程术251

第三节 不定问题253

一 五家共井253

二 物不知数问题254

三 百鸡术255

第四节 等差数列和等比数列256

一 等差数列256

二 等比数列258

第十一章 无穷小分割和极限思想259

第一节 割圆术259

第二节 刘徽原理260

第三节 祖暅之原理与圆体体积263

一 祖暅之原理263

二 牟合方盖与球体积265

第四节 极限思想在近似计算中的应用267

一 圆周率267

二 圆率和方率271

三 弧田密率271

第五节 刘徽的面积、体积的推导系统273

一 刘徽的面积推导系统273

二 对多面体体积公式的证明275

三 刘徽的体积推导系统279

第六节 刘徽的极限思想在数学史上的地位281

一 刘徽的无穷小分割思想与先秦墨家、名家、道家281

二 刘徽的极限和无穷小分割思想与古希腊的比较282

第十二章 刘徽的逻辑思想和数学理论体系284

第一节 刘徽的辞与理、类、故284

一 理284

二 类285

三 故285

第二节 定义286

第三节 类比和归纳287

一 类比287

二 归纳推理287

第四节 刘徽的演绎推理288

一 三段论和关系推理289

二 假言推理、选言推理、联言推理和二难推理290

三 数学归纳法的雏形292

第五节 数学证明293

一 综合法293

二 分析法与综合法相结合294

三 反驳及刘徽的失误294

第六节 刘徽的数学理论体系295

第十三章 隋唐历法中的数学方法298

第一节 隋唐历法的创造性转变298

一 张子信的发现及其意义298

二 隋唐历法计算结构的数学化299

第二节 二次内插算法300

一 《皇极历》300

二 刘焯二次内插算法及其算理分析301

三 唐代历法对二次内插算法的改进与发展304

四 相减相乘法307

第三节 隋唐历法中若干典型数学方法309

一 刘焯《皇极历》定朔算法309

二 李淳风《麟德历》晷影算法313

三 一行《大衍历》的九服晷影算法316

四 边冈《崇玄历》对黄赤道差与月亮黄纬的计算317

第十四章 隋唐时期中国和朝鲜、日本、印度的数学交流322

第一节 中国和朝鲜的数学交流322

第二节 中国和日本的数学交流324

一 中国历算传入日本324

二 早期算学教育制度的引进326

三 隋唐时期传入日本的中算书与日本古代算学内容的遗存329

第三节 中国和印度的数学交流334

一 印度数学传入中国334

二 中国数学对印度的影响338

第四编 中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学341

第十五章 唐中叶至元中叶数学概论341

第一节 传统数学的高潮与唐中叶开始的社会变革341

一 唐中叶开始的社会变革和数学的发展341

二 思想宽松是数学发展的必要条件342

三 社会需要是数学发展的强大动力343

四 宋元统治者重视数学344

五 宋元数学的特点348

第二节 传本《夏侯阳算经》351

一 传本《夏侯阳算经》的年代与内容351

二 《夏侯阳算经》的版本353

第三节 贾宪和《黄帝九章算经细草》354

一 贾宪和他的老师楚衍354

二 《黄帝九章算经细草》大部存世考355

三 《黄帝九章算经细草》的数学成就和数学思想357

第四节 刘益和《议古根源》358

一 刘益358

二 《议古根源》358

第五节 秦九韶和《数书九章》359

一 秦九韶的生平360

二 秦九韶人品辨361

三 《数书九章》363

第六节 李冶和《测圆海镜》、《益古演段》364

一 李冶364

二 洞渊九容和《测圆海镜》367

三 《益古集》和《益古演段》370

第七节 杨辉和《详解九章算法》、《杨辉算法》372

一 杨辉372

二 《详解九章算法》374

三 《日用算法》和《杨辉算法》375

第八节 朱世杰和《算学启蒙》、《四元玉鉴》379

一 朱世杰379

二 《算学启蒙》379

三 《四元玉鉴》380

第九节 其他数学家和数学著作382

一 李籍和《九章算术音义》、《周髀算经音义》382

二 《谢察微算经》384

三 沈括和《梦溪笔谈》的数学成就384

四 王恂、郭守敬和《授时历草》386

五 赵友钦和《革象新书》388

六 沙克什和《河防通议·算法门》389

七 其他数学家和数学著作390

第十六章 计算技术的改进和珠算的发明394

第一节 ○和十进小数394

一 ○和数码394

二 十进小数396

第二节 计算技术的改进400

一 重因法、以加减代乘除与求一法401

二 留头乘法与九归、归除404

第三节 珠算的产生406

一 珠算产生诸说406

二 珠算最迟产生于宋代408

第十七章 勾股容圆和割圆术409

第一节 勾股容圆409

一 洞渊九容409

二 圆城图式411

三 识别杂记412

第二节 割圆术417

一 沈括的会圆术417

二 《授时历》的弧矢割圆术417

三 赵友钦的割圆术419

第十八章 高次方程数值解法与天元术、四元术422

第一节 高次方程数值解法422

一 立成释锁法422

二 贾宪三角422

三 增乘开方法424

四 益积术和减纵术426

五 正负开方术427

第二节 天元术435

一 天元术的历史435

二 天元术的完善和应用444

第三节 四元术447

一 四元术的历史发展447

二 四元消法448

三 二元术449

四 三元术451

五 四元术454

第十九章 垛积术、招差术457

第一节 垛积术457

一 隙积术457

二 垛积术458

第二节 招差术463

一 《授时历》的招差术463

二 《四元玉鉴》的招差术465

第二十章 大衍总数术与纵横图469

第一节 大衍总数术469

一 大衍总数术的由来469

二 大衍总数术470

第二节 纵横图490

一 河图、洛书与纵横图490

二 杨辉等的纵横图492

三 丁易东的纵横图496

第二十一章 唐中叶至元的中外数学交流500

第一节 中外数学交流概况500

一 9世纪之后伊斯兰地区的数学发展概况500

二 宋元时期中国与伊斯兰国家的数学交流501

第二节 中国数学的外传503

一 中国数学对伊斯兰国家的影响503

二 中国数学对朝鲜和日本的影响506

第三节 伊斯兰国家数学的传入506

一 数学著作的传入506

二 阿拉伯数码与纵横图507

三 土盘算法及格子算510

第五编 传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学第二十二章 元中叶至明末数学概论513

第一节 明代数学的社会背景513

第二节 古算著作与成果在明代的失传515

一 《永乐大典·算》与明初朝廷收藏的数学著作515

二 古算书的失传517

三 数学成果的失传518

第三节 明代数学主流的转变520

一 明代数学著作概况520

二 明代数学的主流及杨辉的影响522

第二十三章 元中叶至明末的主要数学家和数学著作525

第一节 元中后期的数学家和数学著作525

一 《透帘细草》525

二 丁巨及其《丁巨算法》526

三 贾亨的《算法全能集》528

四 《详明算法》529

第二节 明初的数学家和数学著作530

一 严恭及其《通原算法》530

二 刘仕隆及其《九章通明算法》531

三 夏源泽的《指明算法》533

四 其他算书533

第三节 筹珠并用的数学家和数学著作534

一 吴敬及其《九章算法比类大全》534

二 王文素及其《算学宝鉴》536

三 其他算书540

第四节 理论数学研究的余绪542

一 唐顺之及其《数论》六篇542

二 顾应祥及其四部数学著作543

三 周述学及其《历宗算会》547

四 朱载堉及其《算学新说》和《嘉量算经》550

第五节 珠算数学家和数学著作552

一 《算法统宗》以前的珠算著作552

二 程大位及其《算法统宗》和《算法纂要》558

三 其他珠算著作561

第二十四章 数学的歌诀化与珠算的普及562

第一节 数学的实用化与歌诀化562

一 数学的实用化、大众化与商业化562

二 数学的歌诀化563

三 元末以来的数学歌诀化算题564

第二节 明代数学中的各种“杂法”566

第三节 珠算的发展与普及568

一 元明时代几项珠算史料所反映的情况568

二 数学著作中对珠算的反映569

三 珠算的普及与筹算的消失570

第二十五章 明代的若干数学工作573

第一节 开方及方程的数值解法573

一 元中后期的增乘开方法573

二 《通原算法》的开方法574

三 吴敬、王文素等的开方法575

四 珠算开方法577

五 开带从方法578

第二节 一次同余方程组与不定方程580

一 一次同余方程组的解法580

二 不定方程问题584

第三节 勾股术、测圆术与弧矢术587

一 勾股术587

二 测圆术589

三 弧矢术590

第四节 纵横图593

第五节 九进位制与十进位制的小数换算598

第二十六章 中国数学在朝鲜和日本的传播与影响600

第一节 中国数学外传朝鲜半岛及其影响600

一 中国数学在李氏朝鲜初期的流传与影响600

二 17世纪朝鲜对中国历算著作的引进601

三 宋元明数学著作的流传与影响602

第二节 中国数学在日本的传播与影响605

一 珠算与明代数学著作在日本的传播605

二 宋元数学著作在日本的传播607

三 宋元明著作对日本数学的影响608

第三节 其他交流609

第六编 西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的数学第二十七章 明末清初西方数学的传入与清初的研究613

第一节 明末西方数学的传入613

一 西方数学著作的编译613

二 《崇祯历书》中的数学618

第二节 王锡阐与薛凤祚的数学工作621

一 王锡阐及其《圜解》621

二 薛凤祚及其《比例对数表》等著作624

第三节 梅文鼎及其数学研究627

一 梅文鼎627

二 数学著作的内容概述627

三 立体几何与球面三角方面的创见631

第四节 其他数学家的工作637

一 方中通及其《数度衍》637

二 李子金的数学工作640

三 陈厚耀对排列组合的研究641

四 陈世仁及其《少广补遗》643

第二十八章 清初西方数学的传入647

第一节 康熙帝与西方数学的再次传入647

一 康熙的数学学习647

二 安多和《算法纂要总纲》的编纂649

第二节 《数理精蕴》655

一 蒙养斋算学馆与《数理精蕴》的编纂655

二 《数理精蕴》的内容及其西方数学来源658

三 《数理精蕴》的影响667

第三节 西学中源说与康熙的数学地位668

一 借根方即天元术说668

二 康熙与符号代数传入的失败669

三 “西学中源”说及康熙的数学地位670

第四节 康熙雍正时代传入的其他西方数学671

一 对数表的传入671

二 杜德美与杜氏三术672

三 年希尧《视学》与Pozzo原著的关系673

第二十九章 清中叶传统数学著作的整理和研究675

第一节 清中叶数学概述675

一 中国传统数学的复兴675

二 西方数学的研究与中、西数学知识的互动676

第二节 传统数学著作的整理和校勘678

一 戴震与《四库全书》、《武英殿聚珍版丛书》中所收算书678

二 清中叶对汉唐算经的校勘与研究682

三 宋元数学书的传刻与研究684

四 《畴人传》及其续编688

第三节 传统数学的研究与发展692

一 谈天三友和其他数学家692

二 方程论研究694

三 其他研究工作706

第三十章 幂级数展开式的研究729

第一节 明安图及其《割圜密率捷法》729

一 明安图729

二 《割圜密率捷法》730

第二节 董祐诚、项名达、戴煦等的工作731

一 董祐诚及其《割圜连比例术图解》731

二 项名达及其《象数一原》733

三 戴煦及其《求表捷术》735

第三节 李善兰及其尖锥术738

一 李善兰738

二 尖锥术739

第四节 徐有壬、顾观光、邹伯奇等的研究工作748

一 徐有壬及其《割圆八线缀术》748

二 顾观光、邹伯奇的研究工作750

第三十一章 清末西方数学的传入753

第一节 清末西方数学传入概况753

一 李善兰的数学翻译工作753

二 华蘅芳及其数学翻译研究754

第二节 几何、代数和三角学著作的翻译757

一 《几何原本》757

二 《代数学》和《代数术》757

三 《三角数理》及其他758

第三节 微积分和概率论著作的翻译759

一 《代微积拾级》759

二 《微积溯源》760

三 其他有关微积分的著作760

四 《决疑数学》761

第三十二章 清末数学研究763

第一节 夏鸾翔、白芙堂诸子和其他数学家763

一 夏鸾翔及其数学著作763

二 白芙堂诸子及其数学著作764

三 刘彝程及其数学著作767

四 陈志坚、周达及其数学著作769

第二节 数论的研究771

一 素数的研究771

二 整数勾股形的研究772

三 百鸡术和大衍总数术的研究775

第三节 垛积术与招差术的研究781

一 李善兰的垛积术781

二 夏鸾翔的垛积招差研究785

三 刘彝程的垛积术研究789

第四节 开方术的研究792

一 夏鸾翔对开方术的研究792

二 华蘅芳的数根开方术与积较开方术794

第五节 对圆锥曲线和微积分的研究798

一 圆锥曲线作图799

二 二次曲线求积问题800

三 平圆容切与累圆810

第三十三章 清末数学教育817

第一节 清末数学教育概述817

一 数学教育的变革817

二 清末的数学教育观念821

三 清末的留学活动与数学留学生822

第二节 晚清数学教育824

一 洋务学堂的数学教育824

二 书院的变革与数学教育831

三 教会学校的数学教科书833

四 癸卯学制的数学课程834

第三节 数学丛书、数学社团与刊物836

一 数学丛书的编纂836

二 数学社团837

三 数学刊物839

主要参考文献843

后记854

总跋857