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第8章 多元函数微分法及其应用1

8.1多元函数的基本概念1

8.1.1二元函数1

8.1.2 n维空间与n维函数2

8.1.3平面点集的一些概念2

习题8.14

8.2二元函数的极限与连续4

8.2.1二元函数的极限4

8.2.2多元函数的连续性6

习题8.27

8.3偏导数8

8.3.1偏导数的定义与计算8

8.3.2高阶偏导数10

习题8.312

8.4全微分及其应用13

8.4.1全微分的定义13

8.4.2函数可微的必要与充分条件14

8.4.3微分在近似计算中的应用16

习题8.417

8.5多元复合函数的求导法则17

8.5.1链式法则17

8.5.2全微分形式的不变性21

习题8.522

8.6隐函数求导法23

8.6.1由一个方程确定的隐函数的求导23

8.6.2方程组的情形25

习题8.627

8.7微分学在几何上的应用28

8.7.1空间曲线的切线与法平面28

8.7.2曲面的切平面与法线30

习题8.732

8.8方向导数与梯度33

8.8.1方向导数33

8.8.2梯度35

习题8.837

8.9多元函数的极值与求法37

8.9.1无条件极值37

8.9.2条件极值39

8.9.3最大值和最小值40

习题8.942

8.10二元函数的泰勒公式43

8.10.1二元函数的泰勒公式43

8.10.2极值充分条件的证明45

习题8.1047

复习题848

第9章 重积分50

9.1二重积分的概念与性质50

9.1.1二重积分的概念50

9.1.2二重积分的性质52

习题9.155

9.2二重积分的计算56

9.2.1直角坐标系下二重积分的计算56

习题9.2（1）61

9.2.2极坐标系下二重积分的计算62

习题9.2（2）65

9.3三重积分的概念与计算66

9.3.1三重积分的概念与性质66

9.3.2直角坐标系下三重积分的计算67

习题9.369

9.4利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分70

9.4.1利用柱面坐标计算三重积分70

9.4.2利用球面坐标计算三重积分72

习题9.474

9.5重积分的应用75

9.5.1空间曲面的面积75

9.5.2质心77

9.5.3转动惯量79

9.5.4引力80

习题9.581

复习题983

第10章 曲线积分与曲面积分85

10.1对弧长的曲线积分85

10.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质85

10.1.2对弧长的曲线积分的计算方法86

习题10.188

10.2对坐标的曲线积分89

10.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质89

10.2.2对坐标的曲线积分的计算方法91

10.2.3两类曲线积分之间的联系94

习题10.296

10.3格林公式及其应用97

10.3.1格林公式97

10.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件101

10.3.3二元函数的全微分求积104

习题10.3106

10.4对面积的曲面积分107

10.4.1对面积的曲面积分的概念与性质108

10.4.2对面积的曲面积分的计算方法109

习题10.4110

10.5对坐标的曲面积分111

10.5.1对坐标的曲面积分的实际背景112

10.5.2对坐标的曲面积分的概念与性质113

10.5.3对坐标的曲面积分的计算方法114

10.5.4两类曲面积分之间的联系116

习题10.5119

10.6高斯公式及其应用120

10.6.1高斯公式及其应用120

10.6.2通量与散度122

习题10.6123

10.7斯托克斯公式及其应用124

10.7.1斯托克斯公式124

10.7.2环流量与旋度126

习题10.7127

复习题10128

第11章 无穷级数132

11.1常数项级数的概念与性质132

11.1.1常数项级数的概念132

11.1.2收敛级数的性质134

习题11.1135

11.2常数项级数的审敛法136

11.2.1正项级数及其审敛法136

11.2.2交错级数及其审敛法139

11.2.3绝对收敛与条件收敛140

习题11.2141

11.3幂级数143

11.3.1函数项级数的概念143

11.3.2幂级数及其收敛性143

11.3.3幂级数的运算146

习题11.3148

11.4函数展开成幂级数及其应用149

11.4.1泰勒级数149

11.4.2函数展开成幂级数150

11.4.3幂级数展开式的应用152

习题11.4154

11.5傅里叶级数及其应用154

11.5.1以2π为周期的周期函数的傅里叶级数155

11.5.2正弦级数和余弦级数159

11.5.3以2l为周期的周期函数的傅里叶级数161

11.5.4傅里叶级数应用举例162

习题11.5164

复习题11165

第12章 微分方程167

12.1微分方程的基本概念167

习题12.1168

12.2可分离变量的微分方程169

习题12.2170

12.3齐次方程171

习题12.3173

12.4一阶线性微分方程174

12.4.1一阶线性微分方程174

12.4.2伯努利方程175

习题12.4176

12.5全微分方程177

习题12.5178

12.6可降阶的高阶微分方程179

12.6.1 y（n） = f （x）型方程179

12.6.2 y″= f（x， y′）型方程179

12.6.3y″= f（y，y′）型方程180

习题12.6180

12.7高阶线性微分方程181

12.7.1二阶齐次线性微分方程解的性质与通解结构181

12.7.2二阶非齐次线性方程解的性质与通解结构182

12.8二阶常系数齐次线性微分方程183

习题12.8185

12.9常系数非齐次线性微分方程186

12.9.1 f（x）=eλx Pm（x）型（Pm（x）为m次多项式）186

12.9.2 f（x）=Pm （x） eλx cosωx或Pm（x） eλxsinωx 型189

习题12.9190

12.10欧拉方程191

习题12.10192

12.11微分方程的幂级数解法193

习题12.11195

复习题12195

习题解答与提示197

参考文献223