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第一章 绪论1

1.1 理论研究背景1

1.1.1 四元数的起源1

1.1.2 四元数的发展和应用现状5

1.1.3 共形几何代数与四元数8

1.2 应用背景11

1.2.1 数字图像处理发展概况11

1.2.2 彩色图像处理的预备知识——颜色理论14

1.3 主要工作和内容安排21

1.3.1 主要工作21

1.3.2 内容安排25

第二章 四元数代数及四元数彩色图像模型27

2.1 四元数代数27

2.1.1 四元数的定义和性质27

2.1.2 四元数的运算30

2.2 四元数矩阵的特征值和特征向量35

2.2.1 四元数矩阵的特征值和特征向量35

2.2.2 四元数矩阵的等价复矩阵36

2.2.3 四元数矩阵与其等价复矩阵的特征值和特征向量的关系36

2.2.4 四元数矩阵的实表示37

2.2.5 四元数矩阵与其实表示矩阵的特征值和特征向量的关系37

2.3 四元数矩阵的奇异值分解38

2.3.1 四元数矩阵奇异值分解的存在性38

2.3.2 四元数矩阵奇异值分解的意义38

2.3.3 四元数矩阵与其实表示矩阵奇异值分解的关系39

2.4 彩色图像的四元数表示39

2.5 基于QSVD的彩色图像分解40

2.5.1 基于QSVD的彩色图像分解方法40

2.5.2 实验及分析42

第三章 基于分块QSVD的彩色图像水印方案51

3.1 引言51

3.2 一种错误的基于SVD的图像水印算法52

3.3 基于四元数矩阵奇异值分解的数字图像水印算法55

3.3.1 基于Arnold变换的图像置乱预处理55

3.3.2 水印算法56

3.3.3 实验结果与分析57

3.4 抗几何攻击的鲁棒彩色图像水印方案62

3.4.1 问题的提出62

3.4.2 对数极坐标映射62

3.4.3 相位相关64

3.4.4 水印方案和实验66

第四章 四元数傅立叶分析72

4.1 引言72

4.2 四元数傅立叶变换（QFT）的实现73

4.2.1 双边QFT74

4.2.2 单边QFT（左型／右型）79

4.2.3 QFT应用实例80

4.3 四元数卷积91

4.3.1 空域上的四元数卷积92

4.3.2 卷积定理92

4.4 四元数相关93

4.4.1 空域上的互相关94

4.4.2 频域上的互相关95

4.4.3 自相关96

第五章 四元数滤波器的构造97

5.1 引言97

5.2 四元数颜色敏感平滑滤波器97

5.3 四元数双边滤波器100

5.4 四元数旋转彩色边缘检测滤波器101

5.4.1 已有的四元数旋转滤波器101

5.4.2 改进的四元数旋转滤波器104

5.5 基于四元数旋转边缘检测算子的浮雕图像生成109

5.5.1 问题的提出109

5.5.2 实现原理110

5.5.3 实验结果与分析111

第六章 基于四元数插值的彩色图像放大方法120

6.1 引言120

6.2 图像插值算法介绍122

6.2.1 最近邻插值124

6.2.2 双线性插值124

6.2.3 双三次插值126

6.2.4 牛顿多项式插值127

6.2.5 三次样条插值128

6.2.6 自适应切触有理插值130

6.3 基于四元数插值的图像放大方法132

6.3.1 四元数双球面线性插值（BiSlerp）132

6.3.2 实验结果与分析134

6.4 本章小结137

第七章 共形几何代数与四元数139

7.1 引言139

7.2 共形几何代数简介141

7.2.1 几何代数的积142

7.2.2 五维共形几何代数144

7.3 图形的变换和运动及实验示例145

7.3.1 反射145

7.3.2 平移147

7.3.3 旋转147

7.3.4 绕任意转轴的旋转149

7.3.5 刚体运动150

7.4 本章小结152

第八章 总结与展望154

8.1 研究工作总结154

8.2 研究工作展望157

参考文献159