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第1章 计算方法概论1

1.1 引言1

1.1.1 计算方法的意义1

1.1.2 计算方法的特点与任务1

1.2 算法与效率2

1.2.1 算法2

1.2.2 算法的效率4

1.3 计算机机器数系与浮点运算5

1.3.1 二进制数与计算机机器数系5

1.3.2 数据的表示与浮点运算7

1.4 误差8

1.4.1 误差的概念9

1.4.2 四则运算与函数求值的误差11

1.5 问题的性态与算法的数值稳定性13

1.5.1 问题的性态与条件数13

1.5.2 算法的数值稳定性15

1.6 应用实例与Matlab19

1.6.1 Matlab简介19

1.6.2 应用实例23

小结24

习题124

第2章 数值计算的理论基础26

2.1 度量空间与压缩映射26

2.1.1 距离与极限26

2.1.2 压缩映射28

2.2 内积29

2.2.1 线性空间29

2.2.2 内积空间与元素的夹角30

2.3 范数31

2.3.1 赋范线性空间32

2.3.2 向量范数与矩阵范数34

小结38

习题239

第3章 非线性方程求根40

3.1 引言40

3.1.1 问题的背景40

3.1.2 基本概念40

3.2 二分法41

3.3 不动点迭代法43

3.3.1 不动点迭代43

3.3.2 不动点迭代的收敛性、误差估计45

3.4 牛顿迭代法49

3.4.1 牛顿迭代法及其收敛性49

3.4.2 牛顿迭代法的变形51

3.5 迭代法收敛阶与加速收敛54

3.5.1 迭代法收敛阶54

3.5.2 重根的计算56

3.5.3 加速收敛57

3.6 应用实例与Matlab60

3.6.1 多项式求根60

3.6.2 应用实例63

小结65

习题366

第4章 线性方程组的直接解法68

4.1 引言68

4.2 高斯消元法69

4.2.1 回代法69

4.2.2 高斯顺序消元法70

4.2.3 选主元消元法74

4.2.4 计算量与稳定性78

4.3 矩阵分解与应用79

4.3.1 矩阵的直接LU分解79

4.3.2 追赶法83

4.3.3 平方根法85

4.4 误差分析89

4.4.1 方程组的误差估计89

4.4.2 矩阵的条件数与迭代求精法90

4.5 应用实例与Matlab92

小结96

习题497

第5章 方程组的迭代解法99

5.1 引言99

5.2 线性方程组的迭代解法99

5.2.1 常用迭代法100

5.2.2 迭代法收敛性分析105

5.3 非线性方程组的迭代解法115

5.3.1 简单迭代法115

5.3.2 牛顿迭代法117

5.3.3 最速下降法119

5.4 应用实例与Matlab121

小结124

习题5125

第6章 矩阵特征值的数值计算127

6.1 引言127

6.2 幂法与反幂法128

6.2.1 幂法与加速方法128

6.2.2 反幂法134

6.3 矩阵的正交分解136

6.3.1 豪斯荷尔德变换和吉凡斯变换136

6.3.2 矩阵正交相似上海森伯格阵141

6.4 方法143

6.4.1 矩阵的QR分解143

6.4.2 QR方法146

6.4.3 QR方法的改进147

6.5 雅可比方法151

6.6 应用实例与Matlab154

6.6.1 Matlab中关于特征值与矩阵分解相关的命令154

6.6.2 和特征值和特征向量有关的方面介绍156

小结159

习题6160

附录6A161

附录6B163

第7章 插值法167

7.1 引言167

7.1.1 问题描述167

7.1.2 代数插值168

7.2 拉格朗日插值169

7.2.1 线性插值和抛物插值169

7.2.2 拉格朗日插值多项式170

7.2.3 插值余项与误差估计171

7.3 牛顿插值173

7.3.1 差商及其性质173

7.3.2 牛顿插值多项式及其插值余项175

7.3.3 差分与等距结点牛顿插值177

7.4 埃尔米特插值180

7.4.1 埃尔米特插值多项式180

7.4.2 埃尔米特插值余项181

7.5 分段低次插值多项式183

7.5.1 龙格现象与分段线性插值183

7.5.2 分段三次埃尔米特插值多项式185

7.6 三次样条插值186

7.6.1 三次样条函数的概念186

7.6.2 三弯矩法求三次样条插值函数187

7.7 二维插值191

7.8 应用实例与Matlab194

7.8.1 一维插值194

7.8.2 高维插值197

小结200

习题7200

附录7A B-样条插值203

第8章 函数逼近与曲线拟合210

8.1 引言210

8.2 正交多项式211

8.2.1 正交函数系211

8.2.2 勒让德多项式213

8.2.3 切比雪夫多项式214

8.2.4 其他常用的正交多项式216

8.3 最佳平方逼近217

8.3.1 问题描述与求解217

8.3.2 基于幂函数的最佳平方逼近218

8.3.3 基于正交函数的最佳平方逼近221

8.4 曲线拟合的最小二乘法223

8.4.1 问题描述与求解223

8.4.2 基于正交函数的最小二乘法227

8.5 最佳平方三角逼近与离散傅里叶变换229

8.6 应用实例与Matlab233

8.6.1 函数逼近233

8.6.2 数据拟合234

8.6.3 快速傅里叶变换与三角插值238

小结239

习题8240

附录8A 有理逼近242

第9章 数值积分与数值微分247

9.1 引言247

9.2 插值型求积公式248

9.2.1 代数精度248

9.2.2 牛顿-柯特斯积分250

9.2.3 牛顿-柯特斯公式的求积余项和数值稳定性251

9.2.4 复化求积公式253

9.2.5 自适应求积公式255

9.3 理查森外推法与龙贝格求积公式257

9.3.1 理查森外推加速法257

9.3.2 龙贝格求积公式258

9.4 高斯求积公式261

9.4.1 高斯型求积公式262

9.4.2 几种常用高斯型求积公式264

9.5 多重积分的数值计算270

9.5.1 插值型求积公式270

9.5.2 重积分的复化公式271

9.5.3 计算多重积分的高斯法273

9.6 数值微分275

9.6.1 插值型数值微分277

9.6.2 数值微分的外推法279

9.7 应用实例和Matlab280

9.7.1 Matlab中关于积分的命令280

9.7.2 应用实例282

小结283

习题9284

第10章 常微分方程初值问题的数值解法286

10.1 引言286

10.2 初值问题解法的基本概念286

10.3 简单单步法287

10.3.1 欧拉方法287

10.3.2 梯形公式与改进的欧拉方法290

10.4 单步法的误差与稳定性292

10.4.1 单步法的截断误差与阶292

10.4.2 单步法的收敛性295

10.4.3 单步法的稳定性295

10.5 高阶单步方法298

10.5.1 泰勒方法298

10.5.2 龙格-库塔方法298

10.6 线性多步法303

10.6.1 亚当姆斯显式法304

10.6.2 亚当姆斯隐式法307

10.6.3 线性多步法的稳定性308

10.6.4 亚当姆斯预测—校正法311

10.7 一阶微分方程组与高阶微分方程313

10.7.1 一阶微分方程组的数值解法313

10.7.2 高阶微分方程314

10.8 应用实例与Matlab315

10.8.1 Matlab关于常微分方程初值问题数值解法的命令315

10.8.2 应用实例316

小结318

习题10319

第11章 常微分方程边值问题的数值解法321

11.1 引言321

11.2 打靶法321

11.3 有限差分方法325

11.4 应用实例与Matlab328

11.4.1 Matlab关于常微分方程边值问题数值解法的命令328

11.4.2 应用实例328

小结332

习题11332

部分习题参考答案334

参考文献345