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第一部分 背景知识2

第1章 读者必读2

1.1 读者的教育背景2

1.2 写作此书的缘由2

1.3 滤波的名称4

1.4 本书范围4

1.5 仿真器5

1.5.1 实际场景5

1.5.2 仿真器5

1.6 符号7

1.6.1 精度9

1.7 两个重要的词9

1.8 滤波过程10

1.9 误差／协方差矩阵一致性12

1.10 克拉美罗一致性12

1.10.1 单变量克拉美罗一致性13

1.10.2 多元克拉美罗一致性13

1.11 综合考虑ECM一致和CR一致14

1.12 卡尔曼／施威林不稳定性15

1.13 滤波存储器18

1.14 8种性能监视器19

1.15 本书的用途19

附录1.1 滤波存储器21

第2章 模型、微分方程和转移矩阵24

2.1 线性24

2.1.1 线性方程组24

2.1.2 线性无关25

2.1.3 直线性和微分方程25

2.1.4 常系数线性微分方程26

2.1.5 线性时变微分方程27

2.1.6 非线性微分方程27

2.2 两类模型29

2.2.1 外部模型30

2.2.2 滤波模型30

2.2.3 处理微分方程的方法32

2.3 基于多项式微分方程的模型32

2.3.1 标记32

2.3.2 转移矩阵和转移方程33

2.3.3 转移方程中隐含的曲线34

2.3.4 观测轨迹34

2.3.5 三维空间中的表示35

2.3.6 等距的观测瞬间36

2.4 基于常系数线性微分方程的模型37

2.4.1 转移矩阵的一种求解方法38

2.4.2 每个转移矩阵都是非奇异的38

2.4.3 常系数线性微分方程的转移矩阵一般求解方法38

2.4.4 支配转移矩阵的微分方程39

2.5 基于线性时变微分方程的模型39

2.5.1 与常系数线性微分方程的比较40

2.5.2 转移矩阵φ（tn＋ζ，tn）求解40

2.6 基于非线性微分方程的模型41

2.6.1 局部线性化方法42

2.6.2 使用线性时变微分方程的结果44

2.6.3 小结45

2.6.4 解析解的例子46

2.7 数值偏微分49

附录2.1 向量组的线性独立50

附录2.2 多项式转移矩阵51

附录2.3 转移矩阵φ（tn＋ζ，tn）的微分方程起源53

附录2.4 局部线性化的方法54

附录2.5 定理2.1 的证明：每个过渡矩阵φ（ζ）是非奇异的55

附录2.6 求过渡矩阵的一般方法56

第3章 观测方案59

3.1 滤波的工作方式59

3.1.1 真实状态向量X60

3.1.2 观测方程60

3.1.3 四种情况60

3.2 情况1：线性滤波模型，线性观测方程61

3.2.1 观测向量序列62

3.2.2 构建T的两个矩阵63

3.2.3 线性独立的必要性63

3.3 情况4：非线性滤波模型，非线性观测方程63

3.3.1 应用于观测方程的局部线性化65

3.3.2 观测序列67

3.4 情况3：非线性滤波模型，线性观测方程68

3.5 情况2：线性滤波模型，非线性观测方程70

3.6 总结72

3.7 将T矩阵合并入滤波器73

3.7.1 结论74

附录3.1 ENU（EAST-NORTH-UP）坐标76

第4章 随机向量和协方差矩阵理论77

4.1 随机变量77

4.1.1 平均值和期望78

4.1.2 方差和标准差79

4.1.3 协方差矩阵—理论和实际79

4.2 随机向量和协方差矩阵80

4.2.1 随机向量80

4.2.2 随机矩阵80

4.2.3 协方差矩阵81

4.2.4 协方差矩阵——理论和实际82

4.2.5 相关矩阵82

4.2.6 不相关的随机向量83

4.2.7 随机向量的线性变换83

4.2.8 X和Nx的协方差矩阵85

4.2.9 非相关向量之和／差的协方差矩阵85

4.2.10 相关性和独立性86

4.2.11 高斯随机向量的线性变换86

4.3 协方差矩阵的正定性87

4.3.1 正定性87

4.3.2 几何解释88

4.3.3 三个示例89

4.4 正定矩阵的性质90

4.4.1 矩阵的秩91

4.4.2 关于正定矩阵的三个重要定理91

4.5 最后几项92

4.5.1 半正定矩阵92

4.5.2 半正定矩阵的特性93

4.5.3 由线性代数得到的重要结论93

附录4.1 对正定性的几何解释95

第5章 滤波工程中随机向量和协方差矩阵97

5.1 随机向量和协方差矩阵的变换97

5.1.1 变换方程97

5.1.2 协方差矩阵的非线性变换98

5.1.3 三条结论100

5.1.4 小结101

5.2 观测误差的协方差矩阵101

5.3 估计误差的协方差矩阵103

5.3.1 实际估计误差向量N103

5.3.2 滤波矩阵W103

5.3.3 滤波协方差矩阵S104

5.3.4 误差／协方差矩阵的一致性105

5.3.5 完整的滤波器106

5.4 生成预测的方法106

5.5 实际观测误差协方差矩阵106

5.5.1 关于N＊的评论106

5.6 T矩阵的列秩107

附录5.1 随机向量和协方差矩阵的非线性变换108

附录5.2 矩阵W行的线性独立性109

第6章 偏移误差110

6.1 简介110

6.2 总体110

6.3 观测中的偏移误差111

6.3.1 校准和轴线校准112

6.4 估计中的误差113

6.4.1 估计中的随机误差113

6.4.2 估计中的偏移误差114

6.5 精确约束条件114

6.6 无限多满足精确约束条件的W矩阵115

6.7 观测向量发生偏移误差的场合116

6.7.1 有偏观测和拟合优度检验116

6.8 滤波模型与外部模型不同的情形117

6.9 偏移误差说明118

6.10 总结118

附录6.1 高斯论随机误差和偏移误差120

附录6.2 定理6.2的证明121

第7章 ECM一致性的三种检验123

7.1 端到端123

7.2 矩阵到矩阵的ECM检验124

7.2.1 两个矩阵之间的比较125

7.2.2 关于比矩阵的注意事项125

7.2.3 实例126

7.3 三类检验的框图127

7.4 多元高斯和卡方PDF128

7.4.1 多元高斯随机变量128

7.4.2 卡方随机变量128

7.5 单次3-sigma ECM检验130

7.5.1 单次3-sigma ECM检验130

7.6 单次卡方ECM检验（单次仿真卡方ECM检验）131

7.6.1 单次卡方ECM检验131

7.7 3-sigma和卡方检验的不足132

7.7.1 检验实例133

7.8 3-sigma和卡方检验的补充说明133

7.8.1 偏移误差的存在133

7.8.2 矩阵求逆问题133

7.8.3 示范134

7.9 四次计算机运行示例135

7.10 结论135

附录7.1 非奇异变换之下的卡方恒定性136

第二部分 非递归滤波140

第8章 最小方差和高斯—埃特肯滤波140

8.1 简介140

8.1.1 最小方差140

8.1.2 MVA和滤波的命名140

8.2 残差141

8.2.1 加权残差平方之和142

8.3 推导MVA：方法一143

8.3.1 寻找X minvar144

8.3.2 获取算法的第2版144

8.4 MVA的属性145

8.4.1 MVA的ECM一致性146

8.4.2 实验验证147

8.4.3 MVA的CR一致性147

8.5 高斯—埃特肯滤波（版本1和版本2）148

8.5.1 高斯—埃特肯滤波的运行149

8.6 高斯—埃特肯滤波的灵活性151

8.6.1 滤波内存151

8.6.2 滤波模型152

8.7 设计两个高斯—埃特肯滤波152

8.8 版本1提供的选择152

8.8.1 矩阵RY和它的逆152

8.8.2 如果观测结果是阶段相关153

8.9 非递归和递归最小方差153

8.9.1 合并观测结果的规则154

8.9.2 非递归法和递归法155

8.9.3 MVA的两种形式156

8.9.4 形成更高的维度最小方差估计157

8.9.5 进一步扩展158

8.9.6 数据融合159

8.9.7 递归算法必须初始化159

8.9.8 非递归算法不需要初始化160

8.9.9 组合观测的基本假设160

附录8.1 e（X n，n）的最小化161

附录8.2 MVA滤波器协方差矩阵S minvar162

附录8.3 获得协方差矩阵RY163

第9章 最小方差和高斯—牛顿滤波164

9.1 求解MVA的第二种方法164

9.1.1 问题的一般描述164

9.1.2 问题的数学描述165

9.1.3 解决问题166

9.1.4 最小方差法167

9.1.5 充要条件169

9.1.6 最小方差和克拉美罗169

9.1.7 预测和逆推最小方差170

9.2 三个CR一致性检验170

9.3 求解MVA的其他方法171

9.4 最小方差和最小二乘法172

9.5 高斯—牛顿滤波172

9.5.1 周期和迭代173

9.5.2 6种高斯—牛顿滤波器173

9.6 高斯—牛顿滤波的初始化174

9.7 改进的高斯—牛顿滤波174

附录9.1 定理9.1证明175

附录9.2 最小方差和克拉美罗177

A9.2.1 最小方差177

A9.2.2 克拉美罗177

A9.2.3 多元高斯误差178

附录9.3 最小方差算法和最大似然估计179

附录9.4 观测误差组合理论摘录180

第10章 主控制算法和拟合优度181

10.1 简介181

10.2 背景181

10.2.1 运动类型181

10.2.2 滤波模型182

10.2.3 雷达182

10.2.4 目标的数量182

10.2.5 T矩阵182

10.2.6 四种运动序列183

10.3 用于高斯—埃特肯滤波的MCA183

10.3.1 概述183

10.3.2 MCA-1细节184

10.3.3 MCA运行的两个例子186

10.3.4 小结188

10.4 拟合优度检验简述188

10.4.1 GOF检验概述189

10.4.2 注释189

10.5 GOF检验的独立实现190

10.5.1 演示190

附录10.1 MCA-2192

附录10.2 GOF检验所基于的定理10.1196

第三部分 递归滤波198

第11章 卡尔曼／施威林滤波198

11.1 导言198

11.1.1 什么是卡尔曼滤波198

11.1.2 非递归／递归二元性199

11.2 施威林滤波199

11.3 卡尔曼滤波201

11.3.1 过程噪声和自身ECM不一致性201

11.3.2 卡尔曼／施威林自身ECM不一致（不稳定）的例子202

11.3.3 卡尔曼滤波方程的推导202

11.4 高斯、施威林和卡尔曼滤波的等价性203

11.4.1 说明204

11.5 卡尔曼／施威林滤波不一致性的困境204

11.5.1 卡尔曼／施威林滤波不一致性的困境204

11.6 结论205

附录11.1 情况1的卡尔曼滤波的推导206

附录11.2 卡尔曼／施威林不一致性困境的分析证明207

附录11.3 三种滤波等价的数值证据209

附录11.4 包含Q矩阵的扩展卡尔曼／施威林滤波的CR不一致性增长211

第12章 多项式滤波器—1213

12.1 概述213

12.2 多项式滤波及特性213

12.2.1 五个假设213

12.2.2 版本214

12.2.3 算法214

12.2.4 应用程序214

12.2.5 周期数215

12.2.6 滤波的输入216

12.2.7 抽样间隔时间216

12.2.8 框图216

12.2.9 获得X＊和Z＊的两种方法218

12.2.10 算法的基本结构218

12.2.11 梳理219

12.2.12 自初始化的EMP滤波220

12.2.13 非自初始化的FMP滤波221

12.2.14 有增长记忆的EMP滤波222

12.2.15 有衰减记忆的FMP滤波223

12.2.16 方差缩减224

12.2.17 一步预测EMP滤波VRF表达式226

12.2.18 一步预测FMP滤波的VRF表达式228

12.2.19 去规范化协方差矩阵的近似表达式229

12.2.20 跟踪能力、ECM一致性和CR一致性230

12.2.21 坐标系的选择231

12.2.22 排除异常233

12.2.23 遗漏检测234

12.2.24 量化FMP滤波的记忆长度234

12.2.25 快速稳定236

12.2.26 固定长度和可变长度EMP滤波238

12.2.27 复合EMP/FMP滤波器240

12.2.28 预滤波244

12.2.29 西格玛监控测试247

12.2.30 结论248

附录12.1 0～4阶一步预测EMP算法249

附录12.2 0～4阶一步预测FMP算法250

附录12.3 0～4阶当前预测EMP算法251

附录12.4 0～4阶当前预测FMP算法252

第13章 多项式滤波器—2253

13.1 EMP方程的推导253

13.1.1 近似多项式253

13.1.2 经典最小二乘法254

13.1.3 离散勒让德正交多项式254

13.1.4 利用勒让德正交多项式为基256

13.1.5 使用勒让德多项式进行最小二乘法256

13.1.6 利用β写出逼近多项式257

13.1.7 真实状态向量的估计258

13.1.8 EMP递归的形成259

13.2 EMP协方差矩阵260

13.2.1 对角元素的数学表达式261

13.2.2 协方差矩阵的数值计算263

13.2.3 零阶导数估计方差的递归公式265

13.2.4 验证EMP协方差矩阵的表达式266

13.3 推导FMP方程266

13.3.1 近似多项式266

13.3.2 经典最小二乘法267

13.3.3 离散拉盖尔正交多项式268

13.3.4 使用拉盖尔正交多项式为基269

13.3.5 使用拉盖尔多项式最小二乘法269

13.3.6 使用β描述逼近多项式270

13.3.7 估计真实状态向量270

13.3.8 FMP的递归公式272

13.4 FMP协方差矩阵272

13.4.1 归一化FMP协方差矩阵272

13.4.2 去归一化273

13.4.3 验证FMP协方差矩阵的表达式274

附录13.1 离散勒让德正交多项式275

附录13.2 三勒让德P矩阵276

附录13.3 离散拉格朗日正交多项式278

附录13.4 拉格朗日A（θ）矩阵279

附录13.5 拉格朗日F（s，θ）矩阵280

参考文献281

致谢288