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引言1

习题5

第一章 从星期到模m剩余类环6

1.1集合的划分与等价关系6

习题1.110

1.2模m剩余类环Zm，环和域的概念11

习题1.215

1.3整数环的结构15

习题1.320

1.4Zm的可逆元的判定，模P剩余类域，域的特征，费马小定理21

习题1.425

1.5中国剩余定理25

习题1.528

1.6Zm的可逆元的个数，欧拉函数28

习题1.634

1.7Zm的单位群Zm，欧拉定理，循环群及其判定34

1.7.1Zm的结构，群34

1.7.2欧拉定理36

1.7.3群的元素的阶37

1.7.4循环群及其判定39

习题1.743

1.8筛法，威尔逊定理，素数的分布44

1.8.1筛法，威尔逊定理44

1.8.2素数的分布45

1.8.3素数的计数47

习题1.853

第二章 从解方程到一元多项式环55

2.1一元多项式环的概念55

习题2.158

2.2带余除法，整除关系59

习题2.261

2.3最大公因式62

2.3.1最大公因式62

2.3.2互素的多项式64

习题2.365

2.4不可约多项式，唯一因式分解定理66

习题2.468

2.5多项式的根，多项式函数，复数域上的不可约多项式69

2.5.1多项式的根69

2.5.2多项式函数70

2.5.3复数域上的不可约多项式71

习题2.574

2.6实数域上的不可约多项式75

习题2.678

2.7有理数域上的不可约多项式78

习题2.786

第三章 从通信安全到密码学87

3.1序列密码87

习题3.196

3.2线性反馈移位寄存器，m序列97

习题3.2107

3.3公开密钥密码体制，RSA密码系统107

习题3.3111

3.4数字签名112

习题3.4113

第四章 数学发展史上若干重大创新114

4.1从对运动的研究到微积分的创立和严密化114

4.1.1 17世纪对天体运动的研究114

4.1.2牛顿和莱布尼茨创立微积分115

4.1.3微积分的严密化118

4.1.4实数系的连续性与完备性119

4.2从平行公设到非欧几里得几何的诞生与实现124

4.2.1欧几里得几何124

4.2.2对平行公设的质疑125

4.2.3非欧几里得几何的诞生126

4.2.4非欧几何在现实物质世界中的实现128

4.2.5非欧几何的诞生与实现给我们的启迪143

4.3从方程根式可解问题到伽罗瓦理论的创立与代数学的变革144

4.3.1三次、四次方程的解法144

4.3.2拉格朗日等人对于五次及更高次一般方程不能用根式解的研究146

4.3.3伽罗瓦研究可用根式求解的方程的特性的思想147

4.3.4伽罗瓦理论的基本定理152

4.3.5方程根式可解的判别准则154

4.3.6高于四次的一般方程不是根式可解的证明159

4.3.7伽罗瓦理论的创立给我们的启迪162

附录1研究群的结构的途径164

§1.1子群，正规子群，商群164

§1.2群的同态，可解群171

附录2域扩张的途径及其性质181

§2.1理想，商环，环同态，极大理想，域扩张的途径181

§2.2域扩张的性质，分裂域，伽罗瓦扩张191

习题解答204

参考文献223