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第1章 复数与复变函数1

1.1 复数1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 复数的共轭复数2

1.1.3 复数的代数运算2

习题1.13

1.2 复数的表示法3

1.2.1 复平面3

1.2.2 复数的向量表示4

1.2.3 复数的三角表示与指数表示5

1.2.4 无穷远点与复球面6

习题1.28

1.3 复数的运算及几何意义8

1.3.1 复数的加法和减法8

1.3.2 复数的乘法和除法9

1.3.3 复数的幂与方根11

习题1.313

1.4 曲线与区域14

1.4.1 曲线的复数方程14

1.4.2 复平面区域15

1.4.3 简单曲线与区域的连通性16

习题1.418

1.5 复变函数18

1.5.1 复变函数的概念19

1.5.2 复变函数与实变函数的关系19

1.5.3 映射的概念19

习题1.522

1.6 复变函数的极限和连续22

1.6.1 复变函数的极限22

1.6.2 函数的连续性24

习题1.626

本章小结26

复习题128

第2章 解析函数30

2.1 复变函数的导数与解析函数30

2.1.1 复变函数的导数30

2.1.2 复变函数的微分32

2.1.3 解析函数的概念33

习题2.134

2.2 函数解析的充要条件34

习题2.239

2.3 初等函数39

2.3.1 指数函数40

2.3.2 对数函数41

2.3.3 幂函数42

2.3.4 三角函数与双曲函数43

2.3.5 反三角函数与反双曲函数45

习题2.346

本章小结47

复习题249

第3章 复变函数的积分51

3.1 复变函数积分的概念与性质51

3.1.1 复变函数积分的定义51

3.1.2 复变函数积分的性质52

3.1.3 复变函数积分存在的条件及其计算法53

习题3.155

3.2 柯西积分定理及其推广56

3.2.1 柯西积分定理56

3.2.2 复变函数积分的牛顿-莱布尼茨公式57

3.2.3 复合闭路定理60

习题3.261

3.3 柯西积分公式及其推论62

3.3.1 柯西积分公式62

3.3.2 解析函数的高阶导数公式65

习题3.367

3.4 解析函数与调和函数68

3.4.1 调和函数的概念68

3.4.2 解析函数与调和函数的关系69

习题3.470

本章小结71

复习题373

第4章 复级数75

4.1 复数项级数75

4.1.1 复数列的极限75

4.1.2 复数项级数的概念76

习题4.178

4.2 幂级数78

4.2.1 复函数项级数的概念78

4.2.2 幂级数的概念及其收敛性79

4.2.3 幂级数的收敛圆与收敛半径80

4.2.4 幂级数的运算性质82

习题4.283

4.3 泰勒级数84

4.3.1 泰勒展开定理84

4.3.2 将解析函数展开成泰勒级数的方法86

习题4.387

4.4 罗朗级数88

4.4.1 罗朗级数的概念及性质88

4.4.2 罗朗展开定理89

习题4.493

本章小结93

复习题496

第5章 留数理论及其应用98

5.1 孤立奇点98

5.1.1 孤立奇点的定义98

5.1.2 孤立奇点的分类98

5.1.3 函数在孤立奇点的极限性态99

5.1.4 函数的极点与零点的关系100

5.1.5 函数在无穷远点的性态103

习题5.1105

5.2 留数105

5.2.1 留数的概念105

5.2.2 留数的计算106

5.2.3 留数定理及其应用109

5.2.4 无穷远点的留数及其应用111

习题5.2113

5.3 留数在实积分中的应用113

5.3.1 计算∫2π 0 R（cos θ，sin θ）dθ型积分114

5.3.2 计算∫＋∞ -∞ P(x)/Q(x) dx型积分115

5.3.3 计算∫＋∞ -∞ f（x）e？dx（a＞0）型积分117

5.3.4 计算被积函数在实轴上有孤立奇点的积分119

习题5.3120

5.4 对数留数与幅角原理121

5.4.1 对数留数121

5.4.2 幅角原理122

5.4.3 儒歇定理123

习题5.4125

本章小结125

复习题5129

第6章 Fourier变换131

6.1 Fourier积分131

6.1.1 周期函数的Fourier级数131

6.1.2 非周期函数的Fourier积分132

习题6.1137

6.2 Fourier变换137

6.2.1 Fourier变换及正弦与余弦变换137

6.2.2 Fourier变换的物理意义141

习题6.2142

6.3 单位脉冲函数143

6.3.1 引例143

6.3.2 δ-函数的定义144

6.3.3 δ-函数的性质145

6.3.4 δ-函数的Fourier变换146

习题6.3147

6.4 Fourier变换的性质148

习题6.4151

6.5 卷积与相关函数及能量谱密度152

6.5.1 卷积152

6.5.2 相关函数154

6.5.3 能量谱密度函数155

6.5.4 相关函数与能量谱密度函数的关系156

习题6.5157

本章小结157

复习题6.159

第7章 Laplace变换161

7.1 Laplace变换的概念161

7.1.1 Laplace变换的定义162

7.1.2 Laplace变换存在定理163

7.1.3 周期函数的Laplace变换165

习题7.1166

7.2 Laplace变换的性质166

习题7.2171

7.3 卷积172

7.3.1 卷积概念172

7.3.2 卷积定理172

习题7.3174

7.4 Laplace逆变换174

习题7.4177

7.5 Laplace变换的应用177

7.5.1 求解常系数线性微分方程和微积分方程178

7.5.2 求解变系数微分方程180

7.5.3 求解方程组182

习题7.5184

本章小结185

复习题7186

部分习题答案188

参考文献202

附录1 Fourier变换表203

附录2 Laplace变换表206