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第八章 向量代数与空间解析几何1

第一节 向量及其线性运算1

1.1 空间直角坐标系1

1.2 向量及其坐标表示4

1.3 向量的方向余弦7

1.4 向量的线性运算8

习题8.113

第二节 向量的点积与叉积14

2.1 两个向量的点积14

2.2 点积的性质15

2.3 R3中两个向量的叉积17

2.4 向量的混合积21

习题8.222

第三节 直线与平面23

3.1 R2中的直线23

3.2 R3中的平面24

3.3 R3中的直线27

习题8.330

第四节 直线与平面的位置关系31

4.1 两直线的夹角31

4.2 两平面的夹角32

4.3 直线与平面的夹角33

4.4 点到平面的距离34

4.5 平面束36

习题8.437

第五节 曲面39

5.1 曲面及其方程39

5.2 柱面40

5.3 球面41

5.4 椭球面41

5.5 旋转曲面42

5.6 其它曲面的例子44

习题8.545

第六节 曲线47

6.1 平面曲线47

6.2 空间曲线47

6.3 空间曲线的投影柱面和投影曲线49

习题8.650

总习题(八)51

第九章 多元函数微分学54

第一节 n维欧氏空间中的点集拓扑初步54

1.1 n维欧氏空间Rn54

1.2 邻域56

1.3 内点、外点、边界点、聚点57

1.4 开集59

1.5 闭集59

习题9.160

1.6 区域60

第二节 多元函数的基本概念61

2.1 二元函数61

2.2 等高线和等位面63

2.3 极限与连续66

习题9.270

第三节 偏导数与全微分72

3.1 偏导数72

3.2 全微分75

3.3 连续性与可微性，偏导数与可微性78

习题9.383

第四节 复合函数的求导法则86

4.1 z=f(x，y)，x=g(t)，y=h(t)的情形86

4.2 z=f(x，y)，x=g(u，v)，y=h(u，v)的情形87

4.3 链式法则在经济学中的一个应用89

4.4 一阶全微分形式的不变性90

4.5 高阶偏导数和高阶全微分92

4.6 偏导数计算在偏微分方程中的应用95

习题9.4100

第五节 方向导数与梯度102

5.1 方向导数102

5.2 梯度105

习题9.5109

第六节 隐函数微分法111

6.1 一个方程的情形111

6.2 方程组的情形114

6.3 隐函数存在定理116

习题9.6119

第七节 泰勒多项式120

习题9.7123

第八节 向量值函数的导数123

8.1 向量值函数的概念123

8.2 向量值函数的极限与连续性125

8.3 向量值函数的导数127

习题9.8131

总习题(九)131

第十章 多元函数微分学的应用135

第一节 无约束最优化问题135

1.1 多元函数的极值概念135

1.2 极值的必要条件136

1.3 极值的充分条件138

1.4 最大(小)值的求法140

1.5 最大利润问题141

1.6 最小二乘法142

习题10.1144

第二节 约束最优化问题146

2.1 拉格朗日乘数146

2.2 拉格朗日乘数法148

习题10.2151

第三节 偏导数在几何上的应用153

3.1 空间曲线的切线与法平面153

3.2 曲面的切平面与法线157

习题10.3162

总习题(十)164

第十一章 重积分168

第一节 二重积分的概念168

1.1 曲顶柱体的体积168

1.2 平面区域内昆虫群体的总量170

1.3 二重积分的定义170

1.4 二重积分的性质172

习题11.1173

第二节 二重积分的计算174

2.1 矩形区域上的二重积分174

2.2 一般区域上的二重积分176

2.3 利用极坐标计算二重积分181

2.4 二重积分的一般换元法185

习题11.2188

第三节 广义二重积分190

习题11.3192

第四节 三重积分的概念和计算193

4.1 三重积分的概念193

4.2 利用直角坐标系计算三重积分194

4.3 利用柱坐标系计算三重积分198

4.4 利用球坐标系计算三重积分202

习题11.4205

第五节 重积分的应用207

5.1 体积207

5.2 物体的质心208

5.3 转动惯量210

5.4 引力211

习题11.5213

总习题(十一)214

第十二章 曲线积分与曲面积分218

第一节 第一类曲线积分218

习题12.1222

第二节 第二类曲线积分223

2.1 第二类曲线积分的概念和性质223

2.2 第二类曲线积分的计算225

2.3 第二类曲线积分的几个等价形式226

习题12.2232

第三节 第一类曲面积分233

3.1 曲面面积233

3.2 第一类曲面积分的概念和性质236

3.3 第一类曲面积分的计算237

习题12.3240

4.1 第二类曲面积分的概念241

第四节 第二类曲面积分241

4.2 第二类曲面积分的几个等价形式243

4.3 第二类曲面积分的计算244

习题12.4248

总习题(十二)249

第十三章 场论基本公式251

第一节 格林公式及其应用252

1.1 平面闭曲线的定向252

1.2 格林公式253

1.3 格林公式的应用257

习题13.1261

第二节 保守场与势函数262

2.1 保守场与势函数的概念263

2.2 保守场的性质264

2.3 保守场的判别法268

2.4 全微分方程及势函数的求法270

习题13.2274

3.1 向量场的散度276

第三节 散度和高斯公式276

3.2 散度的计算277

3.3 高斯公式279

习题13.3283

第四节 旋度与斯托克斯公式284

4.1 向量场的旋度284

4.2 斯托克斯公式286

4.3 旋度的计算289

习题13.4292

第五节 ？算子293

5.1 ？算子的运算规则293

5.2 几个基本公式294

5.3 例子295

习题13.5296

6.1 向量的外积297

第六节 向量的外积与外微分形式297

6.2 外微分形式及外微分299

6.3 场论基本公式的统一形式302

习题13.6304

总习题(十三)304

第十四章 数项级数307

第一节 再谈数列极限307

1.1 基本概念307

1.2 数列极限与函数极限的关系308

1.3 单调有界收敛定理310

1.4 致密性定理与柯西准则313

习题14.1317

第二节 数项级数的收敛与发散318

2.1 基本概念318

2.2 收敛级数的基本性质323

习题14.2325

第三节 正项级数326

3.1 有界性准则326

3.2 比较判别法327

3.3 比值判别法和根值判别法332

3.4 积分判别法336

习题14.3337

第四节 任意项级数339

4.1 交错级数收敛判别法339

4.2 绝对收敛与条件收敛341

4.3 绝对收敛级数的性质343

习题14.4347

总习题(十四)348

第十五章 函数项级数351

第一节 函数项级数的基本概念351

1.1 函数列和函数项级数351

1.2 收敛域352

1.3 几个基本问题353

1.4 一致收敛的概念355

1.5 一致收敛级数的性质358

习题15.1360

第二节 幂级数及其收敛性361

2.1 幂级数的收敛半径与收敛区间361

2.2 收敛半径的求法365

习题15.2368

第三节 幂级数及其收敛性369

习题15.3375

第四节 泰勒级数375

4.1 基本定理375

4.2 几个基本初等函数的泰勒级数378

4.3 应用基本展开式的例子382

4.4 微分方程的幂级数解法384

习题15.4386

第五节 周期函数的傅立叶级数387

5.1 基本三角函数系388

5.2 傅立叶系数390

5.3 收敛定理391

5.4 例子392

5.5 正弦级数和余弦级数394

习题15.5397

第六节 任意区间上的傅立叶级数398

6.1 区间［-π，π］上的傅立叶级数398

6.2 区间［-l，l］上的傅立叶级数401

习题15.6404

第七节 傅立叶级数的复数形式405

习题15.7408

总习题(十五)409

第一节 含参变量的常义积分412

第十六章 含参变量的积分412

习题16.1416

第二节 广义积分收敛性判别法417

2.1 无穷积分收敛性判别法417

2.2 无界函数的广义积分收敛性判别法420

习题16.2422

第三节 含参变量的广义积分423

3.1 一致收敛性423

3.2 含参变量广义积分的性质424

习题16.3426

总习题(十六)426

数学实验428

实验三 多元函数的偏导数与图形428

实验四 多元函数极值430

实验五 幂级数的应用431

习题答案与提示435

参考书目465