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第11章 时空的整体因果结构324

11.1 过去和未来324

11.2 不可延因果线332

11.3 因果条件334

11.4 依赖域338

11.5 柯西面、柯西视界和整体双曲时空341

习题346

第12章 渐近平直时空347

12.1 共形变换347

12.2 闵氏时空的共形无限远350

12.3 施瓦西时空的共形无限远354

12.4 孤立体系和渐近平直时空356

12.5 g±和i0上的对称性，BMS群和SPI群364

12.6 引力能量的非定域性376

12.6.1 电量和电量守恒376

12.6.2 闵氏时空的守恒量380

12.6.3 引力能量的非定域性383

12.7 渐近平直时空的总能量和总动量385

12.7.1 Komar质（能）量385

12.7.2 ADM 4动量387

12.7.3 Bondi 4动量392

12.7.4 正能定理394

习题396

第13章 Kerr-Newman（克尔-牛曼）黑洞398

13.1 Reissner-Nordstrom（RN）黑洞398

13.2 Kerr-Newman（克尔-牛曼）度规401

13.3 KN时空的最大延拓404

13.3.1 M2＜a2+Q2的情况404

13.3.2 M2＞a2+Q2和M2=a2+Q2的情况409

13.4 静界、能层和其他411

13.4.1 静界和能层411

13.4.2 无限红移面415

13.4.3 闭合类时线415

13.4.4 局域非转动观者416

13.5 从旋转黑洞提取能量418

13.6 黑洞“无毛”猜想421

习题423

第14章 参考系再认识424

14.1 参考系的一般讨论424

14.2 爱因斯坦转盘431

14.2.1 转盘周长431

14.2.2 转盘系是非超曲面正交的刚性参考系433

14.2.3 刚性参考系及其空间几何434

14.2.4 转盘系的空间几何435

14.3 参考系内的钟同步436

14.3.1 惯性参考系的雷达校钟法436

14.3.2 任意时空任意参考系的钟同步问题437

14.3.3 超曲面正交系的钟同步439

14.3.4 Z类参考系442

14.4 时空的3+1分解443

14.4.1 空间和时间443

14.4.2 时空的3+1分解444

14.4.3 空间张量场449

14.4.4 空间张量场的空间导数452

14.4.5 空间张量场的时间导数453

14.5 3+1分解应用举例——广义相对论的初值问题459

习题463

第15章 广义相对论的拉氏和哈氏形式465

15.1 拉氏理论465

15.1.1 有限自由度系统的拉氏理论465

15.1.2 经典场论的拉氏形式467

15.1.3 广义相对论的拉氏形式470

15.2 有限自由度系统的哈氏理论475

15.2.1 有限自由度正规系统的哈氏理论475

15.2.2 有限自由度约束系统的哈氏方程476

15.2.3 初级约束和次级约束479

15.2.4 L不含q1的情况486

15.3 经典场论的哈氏形式491

15.3.1 哈氏理论离不开3+1分解491

15.3.2 从拉氏场论到哈氏场论492

15.3.3 约束系统的例子——麦氏理论的哈氏形式494

15.4 广义相对论的哈氏形式498

15.5 张量密度［选读］505

15.6 辛几何及其在拉氏理论的应用［选读］513

15.6.1 辛几何简介513

15.6.2 第一类约束系统516

15.6.3 作为第一类约束系统的电磁场521

15.6.4 作为第一类约束系统的引力场523

15.6.5 约化位形空间527

15.7 从几何动力学到联络动力学——Ashtekar新变量理论简介［选读］531

习题535

附录B 量子力学数学基础简介536

B.1 Hilbert（希尔伯特）空间初步536

B.1.1 Hilbert空间及其对偶空间536

B.1.2 Hilbert空间的正交归一基541

B.1.3 Hilbert空间上的线性算符543

B.1.4 Dirac的左右矢记号544

B.1.5 态矢和射线546

B.2 无界算符及其自伴性［选读］546

习题555

附录C 量子力学的几何相556

C.1 Berry几何相556

C.2 AA几何相562

附录D 能量条件566

附录E 奇性定理和宇宙监督假设569

E.1 奇性定理简介569

E.2 宇宙监督假设572

E.3 用TIP语言表述强宇宙监督假设［选读］574

E.4 奇异边界578

附录F Frobenius定理580

附录G 李群和李代数583

G.1 群论初步583

G.2 李群584

G.3 李代数585

G.4 单参子群和指数映射586

G.5 常用李群及其李代数589

G.5.1 GL（m）群（一般线性群，general linear group）589

G.5.2 O（m）群（正交群，orthogonal group）592

G.5.3 O（1,3）群（洛伦兹群）595

G.5.4 U（m）群（酉群）598

G.5.5 E（m）群（欧氏群）601

G.5.6 Poincare群（彭加莱群）602

常用矩阵李群一览表603

G.6 李代数的结构常数603

G.7 李变换群和Killing矢量场608

G.8 固有洛伦兹群和洛伦兹代数611

G.8.1 固有洛伦兹变换和固有洛伦兹群611

G.8.2 洛伦兹代数617

G.8.3 用Killing矢量场讨论洛伦兹代数620

G.8.4 洛伦兹群的应用——托马斯进动［选读］624

习题630

附录H 时空对称性与守恒律（Noether定理）631

H.1 用几何语言证明定理631

H.2 正则能动张量634

H.3 关于用坐标语言的证明636

下册符号一览表644

上册勘误645

参考文献（上下册）647

下册索引655

第1章 拓扑空间简介1

1.1 集论初步1

1.2 拓扑空间4

1.3 紧致性［选读］8

第2章 流形和张量场12

2.1 微分流形12

2.2 曲线、切矢和切矢场15

2.3 对偶矢量场24

2.4 张量场28

2.5 度规张量场31

2.6 抽象指标记号36

第3章 内禀曲率张量42

3.1 导数算符42

3.2 矢量场沿曲线的导数和平移47

3.2.1 矢量场沿曲线的平移47

3.2.2 与度规相适配的导数算符48

3.3.3 矢量场沿曲线的导数与沿曲线的平移的关系49

3.3 测地线51

3.4 内禀曲率张量57

3.5 内禀曲率再认识62

第4章 李导数、Killing场和超曲面65

4.1 流形间的映射65

4.2 李导数67

4.3 Killing矢量场69

4.4 超曲面72

第5章 微分形式及其积分78

5.1 微分形式78

5.2 流形上的积分81

5.3 Stokes定理84

5.4 体元86

5.5 函数在流形上的积分，Gauss定理88

5.6 对偶微分形式91

5.7 用标架计算曲率张量［选读］92

第6章 狭义相对论99

6.1 4维表述基础99

6.1.1 预备知识99

6.1.2 狭义相对论的背景时空100

6.1.3 惯性观者和惯性系101

6.1.4 固有时与坐标时102

6.1.5 时空图104

6.1.6 狭义相对论与非相对论时空结构的对比105

6.2 典型效应分析108

6.2.1 “尺缩”效应108

6.2.2 “钟慢”效应109

6.2.3 孪子效应（孪子佯谬）112

6.2.4 车库佯谬113

6.3 质点运动学和动力学114

6.4 连续介质的能动张量121

6.5 理想流体动力学124

6.6 电动力学128

6.6.1 电磁场和4电流密度128

6.6.2 麦氏方程131

6.6.3 4维洛伦兹力132

6.6.4 电磁场的能动张量133

6.6.5 电磁4势及其运动方程，电磁波134

6.6.6 光波的多普勒效应137

第7章 广义相对论基础140

7.1 引力与时空几何140

7.2 弯曲时空的物理定律143

7.3 费米移动与无自转观者147

7.4 任意观者的固有坐标系153

7.5 等效原理与局部惯性系158

7.6 潮汐力与测地偏离方程162

7.7 爱因斯坦场方程167

7.8 线性近似和牛顿极限169

7.8.1 线性近似（线性引力论）169

7.8.2 牛顿极限172

7.9 引力辐射174

第8章 爱因斯坦方程的求解187

8.1 稳态时空和静态时空187

8.2 球对称时空189

8.3 施瓦西真空解191

8.3.1 静态球对称度规191

8.3.2 施瓦西真空解192

8.3.3 Birkhoff（伯克霍夫）定理196

8.4 Reissner-Nordstrom（来斯纳-诺斯特朗）解197

8.5 轴对称度规简介［选读］200

8.6 平面对称度规简介［选读］202

8.7 Newman-Penrose形式（NP formalism）［选读］204

8.8 用NP形式求解爱因斯坦-麦克斯韦方程举例［选读］209

8.8.1 NP形式中的电磁场和电磁场方程209

8.8.2 柱对称条件下爱因斯坦-麦克斯韦方程求解一例211

8.9 坐标条件，广义相对论的规范自由性216

8.9.1 坐标条件216

8.9.2 广义相对论的规范自由性219

第9章 施瓦西时空222

9.1 施瓦西时空的测地线222

9.2 广义相对论的经典实验验证225

9.2.1 引力红移225

9.2.2 水星近日点进动227

9.2.3 星光偏折229

9.3 球对称恒星及其演化231

9.3.1 静态球对称恒星内部解231

9.3.2 恒星演化237

9.4 Kruskal延拓和施瓦西黑洞244

9.4.1 时空奇点（奇性）的定义244

9.4.2 Rindler度规的坐标奇点246

9.4.3 施瓦西时空的Kruskal延拓248

9.4.4 施瓦西时空的无限红移面253

9.4.5 球对称恒星的引力坍缩和施瓦西黑洞254

第10章 宇宙论260

10.1 宇宙运动学260

10.1.1 宇宙学原理260

10.1.2 宇宙的空间几何261

10.2.3 Robertson-Walker（罗伯逊-沃克）度规265

10.2 宇宙动力学268

10.2.1 哈勃定律268

10.2.2 宇宙学红移269

10.2.3 尺度因子的演化271

10.2.4 宇宙学常数和爱因斯坦静态宇宙275

10.3 宇宙的演化276

10.3.1 宇宙演化简史276

10.3.2 宇宙的未来，暗物质285

10.3.3 宇宙学常数问题288

10.4 标准模型的疑难和克服292

10.4.1 粒子视界292

10.4.2 标准模型的疑难293

10.4.3 暴涨模型及其对视界、平直性疑难的解决298

附录A 几何与非几何单位制的转换304