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高等数学1

第1章 函数 极限 连续1

1.1 函数1

内容与方法提要1

典型例题分析2

1.2 函数极限5

内容与方法提要5

典型例题分析6

题型一 利用重要极限求极限6

题型二 左、右极限8

题型三 利用有理化求极限9

题型四 利用等价无穷小替换求极限9

题型五 洛必达法则10

题型六 无穷小量的比较11

题型七 已知极限，确定参数或求另一函数极限11

1.3 数列极限12

内容与方法提要12

典型例题分析13

1.4 连续性15

内容与方法提要15

典型例题分析16

第2章 一元函数微分学20

2.1 导数与微分的定义20

内容与方法提要20

典型例题分析20

题型一 导数定义20

题型二 利用导数定义求导23

2.2 可导性的几个结论25

内容与方法提要25

典型例题分析26

2.3 导数与微分的计算27

内容与方法提要27

典型例题分析27

2.4 微分中值定理——罗尔定理30

内容与方法提要30

典型例题分析31

2.5 微分中值定理——拉格朗日中值定理35

内容与方法提要35

典型例题分析36

2.6 微分中值定理——柯西中值定理39

内容与方法提要39

典型例题分析39

2.7 泰勒公式41

内容与方法提要41

典型例题分析42

2.8 导数的应用47

内容与方法提要47

典型例题分析48

题型一 证明不等式48

题型二 利用导数讨论函数的性态50

2.9 讨论方程的实根57

内容与方法提要57

典型例题分析57

第3章 一元函数积分学59

3.1 原函数的性质及重要定理59

内容与方法提要59

典型例题分析61

3.2 积分变限函数的求导63

内容与方法提要63

典型例题分析64

3.3 对称区间上的积分66

内容与方法提要66

典型例题分析67

3.4 积分计算的分部积分法与换元法69

内容与方法提要69

典型例题分析70

题型一 换元法70

题型二 分部积分法71

题型三 积分法的综合应用72

题型四 分段函数、绝对值、周期函数的积分76

3.5 积分等式和不等式的证明79

内容与方法提要79

典型例题分析80

3.6 广义积分83

内容与方法提要83

典型例题分析83

3.7 定积分的应用85

内容与方法提要85

典型例题分析86

题型一 几何上的应用86

题型二 物理上的应用91

3.8 微积分在经济学中的应用92

内容与方法提要92

典型例题分析94

第4章 向量代数与空间解析几何97

内容与方法提要97

典型例题分析100

第5章 多元函数微分学103

5.1 基本概念103

内容与方法提要103

典型例题分析104

5.2 复合函数微分法107

内容与方法提要107

典型例题分析108

5.3 隐函数微分法110

内容与方法提要110

典型例题分析111

5.4 极值与最值114

内容与方法提要114

典型例题分析114

5.5 多元函数微分法的几何应用120

内容与方法提要120

典型例题分析121

5.6 方向导数与梯度121

内容与方法提要121

典型例题分析122

第6章 多元函数积分学125

6.1 二重积分125

内容与方法提要125

典型例题分析126

题型一 交换积分顺序126

题型二 直角坐标下二重积分的计算128

题型三 极坐标下二重积分的计算128

题型四 利用对称性计算二重积分129

题型五 分区域积分131

题型六 某些特殊类型的二重积分133

6.2 三重积分135

内容与方法提要135

典型例题分析136

题型一 直角坐标下三重积分的计算136

题型二 柱面坐标与球面坐标下三重积分的计算137

题型三 利用对称性计算三重积分138

6.3 第一型曲线积分140

内容与方法提要140

典型例题分析141

6.4 第一型曲面积分142

内容与方法提要142

典型例题分析143

6.5 重积分与第一型曲线、曲面积分的应用146

内容与方法提要146

典型例题分析147

6.6 第二型曲线积分152

内容与方法提要152

典型例题分析153

题型一 利用计算公式求第二型曲线积分153

题型二 利用格林公式求第二型曲线积分154

题型三 积分与路径无关156

6.7 第二型曲面积分161

内容与方法提要161

典型例题分析162

题型一 第二型曲面积分的有关计算162

题型二 曲线积分、曲面积分综合题165

第7章 常微分方程167

7.1 几类一阶方程167

内容与方法提要167

典型例题分析168

7.2 可降阶的高阶方程171

内容与方法提要171

典型例题分析171

7.3 线性微分方程173

内容与方法提要173

典型例题分析174

题型一 线性方程解的性质与结构174

题型二 常系数线性方程175

7.4 利用变量替换化简方程177

内容与方法提要177

典型例题分析177

7.5 微分方程的应用179

内容与方法提要179

典型例题分析180

7.6 差分方程183

内容与方法提要183

典型例题分析184

第8章 无穷级数185

8.1 数项级数185

内容与方法提要185

典型例题分析187

题型一 有关级数敛散性的概念187

题型二 正项级数的敛散性189

题型三 条件收敛，绝对收敛191

8.2 幂级数193

内容与方法提要193

典型例题分析194

题型一 求收敛半径和收敛域194

题型二 求幂级数的和函数196

题型三 求常数项级数的和198

题型四 幂级数和函数与微分方程综合题199

题型五 函数展为幂级数200

8.3 傅立叶级数202

内容与方法提要202

典型例题分析203

题型一 求f（x）傅立叶级数和函数S（x）203

题型二 求函数的傅立叶级数203

线性代数205

第1章 行列式205

内容与方法提要205

典型例题分析207

题型一 数字型行列式207

题型二 利用行列式的性质及相似矩阵计算行列式208

题型三 含参数的行列式计算210

题型四 证明｜A｜＝0213

第2章 矩阵214

2.1 矩阵的运算214

内容与方法提要214

典型例题分析215

题型一 r(A)=1，求An215

题型二 利用A～B，求An216

题型三 求An217

2.2 可逆矩阵218

内容与方法提要218

典型例题分析218

题型一 利用可逆定义求逆矩阵218

题型二 证明矩阵可逆220

题型三 用伴随阵求逆矩阵221

2.3 初等变换与初等矩阵222

内容与方法提要222

典型例题分析223

2.4 矩阵的秩224

内容与方法提要224

典型例题分析225

2.5 矩阵方程226

内容与方法提要226

典型例题分析226

第3章 向量229

3.1 向量及其运算229

内容与方法提要229

典型例题分析230

3.2 线性相关230

内容与方法提要230

典型例题分析231

3.3 线性无关232

内容与方法提要232

典型例题分析233

3.4 有关相关性的几个结论236

内容与方法提要236

典型例题分析238

3.5 线性表示239

内容与方法提要239

典型例题分析240

3.6 向量空间242

内容与方法提要242

典型例题分析243

题型一 基与坐标243

题型二 过渡矩阵244

第4章 线性方程组245

4.1 线性方程解的判别245

内容与方法提要245

典型例题分析246

题型一 方程组的表达形式246

题型二 方程组解的判别247

题型三 有关基础解的证明250

题型四 抽象方程组讨论251

题型五 已知解，求方程组253

4.2 含参数的方程组讨论254

内容与方法提要254

典型例题分析254

4.3 两个方程组的公共解与同解问题258

内容与方法提要258

典型例题分析258

题型一 公共解讨论258

题型二 同解讨论259

第5章 矩阵的特征值与特征向量260

5.1 特征值与特征向量260

内容与方法提要260

典型例题分析261

题型一 求特征值与特征向量261

题型二 特征值与特征向量的有关证明263

题型三 判别矩阵相似264

题型四 利用相似讨论行列式或矩阵的秩266

5.2 矩阵运算对特征值与特征向量的影响267

内容与方法提要267

典型例题分析268

5.3 实对称矩阵270

内容与方法提要270

典型例题分析271

5.4 确定矩阵中的参数276

内容与方法提要276

典型例题分析276

第6章 二次型281

6.1 二次型的概念及其标准形281

内容与方法提要281

典型例题分析282

题型一 化二次型为标准形282

题型二 合同与相似288

6.2 正交二次型与正定矩阵289

内容与方法提要289

典型例题分析290

题型一 正定的判别290

题型二 证明矩阵正定291

概率论与数理统计294

第1章 随机事件及其概率294

1.1 随机事件及其运算294

内容与方法提要294

典型例题分析295

1.2 概率的定义及其计算296

内容与方法提要296

典型例题分析297

题型一 古典概型的摸球问题297

题型二 随机入盒问题297

题型三 随机取数问题298

题型四 几何概型299

1.3 概率计算公式300

内容与方法提要300

典型例题分析301

题型一 加法公式与求逆公式的应用301

题型二 乘法公式及条件概率的有关应用302

题型三 全概率公式与逆概率公式的应用305

1.4 独立性和综合应用307

内容与方法提要307

典型例题分析309

题型一 互不相容与独立性309

题型二 利用独立性计算概率311

第2章 一维随机变量及其分布313

2.1 离散型随机变量及其概率分布313

内容与方法提要313

典型例题分析315

题型一 直接利用常用分布的计算问题315

题型二 求离散型随机变量的分布316

2.2 连续型随机变量及其分布317

内容与方法提要317

典型例题分析319

题型一 确定分布中的参数319

题型二 利用分布计算相关概率321

2.3 随机变量的函数的分布323

内容与方法提要323

典型例题分析324

题型一 离散型随机变量X的函数的分布324

题型二 连续型随机变量X的函数的分布325

第3章 多维随机变量及其分布328

3.1 二维随机变量328

内容与方法提要328

典型例题分析330

题型一 离散型（X,Y）有关分布的计算330

题型二 连续型（X,Y）有关分布的计算334

3.2 独立性336

内容与方法提要336

典型例题分析337

题型一 独立性的判别与证明337

题型二 利用独立性化简计算338

题型三 求分布函数340

3.3 随机变量的函数的分布340

内容与方法提要340

典型例题分析342

题型一 离散型随机变量函数的分布342

题型二 连续型随机变量函数的分布343

题型三 综合题345

第4章 随机变量的数字特征347

4.1 随机变量的数学期望与方差347

内容与方法提要347

典型例题分析348

题型一 利用定义计算期望和方差348

题型二 利用期望和方差的性质计算350

题型三 将X分解后，求X的期望EX351

题型四 随机变量函数的期望与方差352

4.2 协方差和相关系数356

内容与方法提要356

典型例题分析357

题型一 已知分布，求数字特征357

题型二 分布未知，求数字特征359

题型三 独立性与不相关性361

题型四 综合题363

第5章 大数定律与中心极限定理367

5.1 大数定律367

内容与方法提要367

典型例题分析368

题型一 切比雪夫不等式的应用368

题型二 大数定律的简单应用369

5.2 中心极限定理370

内容与方法提要370

典型例题分析372

第6章 数理统计的基本概念373

6.1 基本概念与统计量373

内容与方法提要373

典型例题分析375

题型一 正态总体的样本均值的分布375

题型二 求统计量的数字特征376

6.2 抽样分布377

内容与方法提要377

典型例题分析379

第7章 参数估计383

7.1 点估计383

内容与方法提要383

典型例题分析385

题型一 矩估计385

题型二 最大似然估计386

7.2 估计量的评判标准388

内容与方法提要388

典型例题分析388

题型一 无偏性388

题型二 有效性389

题型三 一致性390

7.3 区间估计391

内容与方法提要391

典型例题分析394

题型一 单个正态总体下置信区间394

题型二 两个总体的区间估计395

第8章 假设检验397

8.1 显著性检验397

内容与方法提要397

典型例题分析400

8.2 两个正态总体的假设检验402

内容与方法提要402

典型例题分析404