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第1章 稀疏世界导论1

1.1 稀疏表示1

1.1.1 引言1

1.1.2 什么是稀疏性？2

1.1.3 稀疏性术语4

1.1.4 最佳字典4

1.2 从傅里叶到小波5

1.3 从小波到过完备表示6

1.3.1 过完备表示的好处6

1.3.2 走向形态多样性6

1.3.3 压缩感知：稀疏性与采样的联系7

1.3.4 稀疏表示的应用7

1.4 小波与曲波的新应用7

1.4.1 地球观测图像的边缘检测8

1.4.2 一幅彗星图像的小波显示9

1.4.3 超声心动图仪图像的增强10

1.4.4 图像分级和检索的曲波矩方法11

1.5 总结14

第2章 小波变换15

2.1 引言15

2.2 连续小波变换15

2.2.1 定义15

2.2.2 性质16

2.2.3 反变换16

2.3 小波函数的实例17

2.3.1 Morlet小波17

2.3.2 墨西哥帽小波17

2.3.3 Haar小波18

2.4 连续小波变换算法19

2.5 离散小波变换21

2.5.1 多分辨率分析21

2.5.2 快速金字塔算法23

2.5.3 二维抽取小波变换25

2.6 非二进分辨率因子28

2.7 提升格式29

2.7.1 利用提升的小波变换例子31

2.8 小波包32

2.8.1 一维小波包32

2.8.2 小波包二叉树33

2.8.3 快速小波包变换33

2.8.4 最优小波包基34

2.8.5 二维小波包35

2.9 数值实验指南36

2.9.1 软件36

2.9.2 一维分段光滑信号的连续小波变换36

2.9.3 离散小波变换的非线性逼近37

2.9.4 小波包的非线性逼近39

2.10 总结42

第3章 冗余小波变换43

3.1 引言43

3.2 非抽取小波变换43

3.2.1 一维非抽取小波变换43

3.3 部分抽取小波变换47

3.4 对偶树复值小波变换48

3.5 各向同性非抽取小波变换：Starlet变换51

3.5.1 非抽取小波变换和Starlet变换的联系55

3.6 非正交滤波器组的设计56

3.6.1 正性重构滤波器56

3.6.2 由非抽取Haar小波系数重构57

3.6.3 迭代重建60

3.7 金字塔小波变换62

3.7.1 拉普拉斯金字塔62

3.7.2 具有截止频率的尺度函数63

3.7.3 其他塔型小波构造68

3.8 数值实验指南68

3.8.1 利用非抽取小波变换去噪68

3.8.2 利用IDL Starlet变换的动态范围压缩70

3.9 总结73

第4章 非线性多尺度变换74

4.1 引言74

4.2 抽取非线性变换74

4.2.1 整数小波变换74

4.2.2 非规则网格上的小波变换75

4.2.3 自适应小波变换76

4.3 多尺度变换和数学形态学76

4.3.1 数学形态学76

4.3.2 提升格式与数学形态学77

4.3.3 金字塔变换78

4.3.4 非抽取多尺度形态变换78

4.4 基于中值变换的多分辨分析79

4.4.1 多尺度中值变换79

4.4.2 塔型中值变换81

4.4.3 融合小波与多尺度中值变换82

4.5 数值实验指南83

4.5.1 利用IDL的Starlet、多尺度中值变换和中值一小波变换83

4.6 总结85

第5章 脊波和曲波变换87

5.1 引言87

5.2 背景与例子87

5.3 脊波89

5.3.1 连续脊波变换89

5.3.2 方形一极坐标的脊波变换91

5.3.3 OFRT——标准正交有限脊波变换94

5.3.4 快速倾斜叠加脊波变换94

5.3.5 局部脊波变换96

5.3.6 基于脊波的稀疏表示97

5.4 曲波98

5.4.1 第一代曲波变换98

5.4.2 第二代曲波变换101

5.5 曲波与对比度增强106

5.6 数值实验指南110

5.6.1 软件110

5.6.2 利用DCTG2稀疏表示110

5.6.3 利用DCTG2去噪112

5.7 总结116

第6章 稀疏性和噪声去除117

6.1 引言117

6.1.1 系数序列118

6.2 逐系数非线性去噪118

6.2.1 作为假设检验的阈值算法118

6.2.2 硬阈值和软阈值121

6.2.3 正交变换与过完备变换123

6.3 非线性块去噪125

6.3.1 观测模型126

6.3.2 关于噪声的假设127

6.3.3 多维块阈值化估计128

6.3.4 阈值的选择128

6.4 超越加性高斯噪声129

6.4.1 乘性噪声129

6.4.2 泊松噪声和Anscombe变换130

6.4.3 高斯和泊松混合噪声131

6.5 泊松噪声和Haar变换131

6.5.1 泊松噪声的Haar系数132

6.5.2 泊松噪声的双正交Haar小波系数132

6.6 低计数泊松噪声133

6.6.1 滤波泊松过程的方差稳定化变换133

6.6.2 多尺度方差稳定化变换与Starlet变换的结合134

6.6.3 多尺度方差稳定变换与非抽取小波变换的结合137

6.6.4 多尺度方差稳定化变换与脊波的结合139

6.6.5 多尺度方差稳定化变换与曲波变换的结合141

6.7 数值实验指南142

6.7.1 块去噪143

6.7.2 彩色图像去噪145

6.8 总结146

第7章 线性反问题147

7.1 引言147

7.2 稀疏性正则化的线性反问题148

7.3 单调算子分裂框架150

7.3.1 凸分析基础150

7.3.2 邻近微积分151

7.3.3 分裂算法156

7.4 选择的问题和算法158

7.4.1 稀疏性惩罚问题158

7.4.2 具有？q保真约束的稀疏性惩罚163

7.4.3 Dantzig选择器167

7.5 具有分析先验的稀疏性惩罚168

7.5.1 分析先验与合成先验168

7.5.2 算法与收敛性169

7.6 反问题中的其他稀疏性正则化170

7.6.1 非线性反问题171

7.6.2 对于超过两个函数的分裂法171

7.7 一般性讨论：稀疏性、反问题以及迭代阈值法172

7.7.1 迭代软阈值：简洁性和鲁棒性172

7.7.2 迭代软阈值方法中的可变正则化参数172

7.7.3 通向非凸惩罚项：迭代硬阈值173

7.8 数值实验指南174

7.8.1 稀疏分解174

7.8.2 稀疏尖峰脉冲去卷积175

7.9 总结176

第8章 形态多样性178

8.1 引言178

8.1.1 稀疏分解问题178

8.1.2 形态多样性的概念180

8.2 字典和快速变换181

8.3 组合去噪181

8.3.1 多个变换优于单个变换181

8.3.2 组合去噪算法182

8.4 组合去模糊186

8.4.1 问题描述186

8.4.2 组合去模糊算法187

8.5 形态成分分析189

8.5.1 信号和图像分解189

8.5.2 形态成分分析算法190

8.5.3 阈值处理策略192

8.5.4 恢复的保证193

8.5.5 处理加性高斯噪声194

8.5.6 形态成分分析与基追踪的稀疏恢复194

8.6 纹理一卡通分离197

8.6.1 选择一个字典197

8.6.2 分离算法198

8.6.3 全变差和非抽样Haar变换198

8.7 图像修补203

8.7.1 问题描述203

8.7.2 图像修补形态成分分析法204

8.7.3 图像修补迭代软阈值法205

8.8 数值实验指南209

8.8.1 MCALab209

8.8.2 可重现的实验212

8.9 总结215

第9章 稀疏盲源分离216

9.1 引言216

9.2 独立成分分析218

9.2.1 独立性作为对比性准则218

9.2.2 独立性与高斯性219

9.2.3 独立成分分析算法220

9.2.4 独立成分分析的局限性220

9.2.5 通向稀疏性221

9.3 稀疏性与多通道数据222

9.3.1 频谱形态多样性222

9.3.2 多通道稀疏分解223

9.4 形态多样性与盲源分离224

9.4.1 广义形态成分分析224

9.4.2 贝叶斯观点228

9.4.3 快速广义形态成分分析算法229

9.4.4 估计源的数量231

9.5 说明性实验234

9.5.1 越稀疏越好234

9.5.2 广义形态成分分析和含噪声数据236

9.5.3 多通道图像修补238

9.6 数值实验指南240

9.6.1 GMCALab240

9.6.2 可重复实验240

9.7 总结241

第10章 球面上的多尺度几何分析242

10.1 引言242

10.2 球面上的数据243

10.2.1 HEALPix243

10.2.2 球面谐波244

10.3 球面上的正交Haar小波244

10.4 球面上的连续小波245

10.4.1 赤平极射投影245

10.4.2 墨西哥帽小波246

10.4.3 方向小波246

10.5 具有精确重建的球面上冗余小波变换249

10.5.1 球面上的各向同性非抽取小波变换249

10.5.2 球面上的各向同性塔型小波变换254

10.6 球面上的曲波变换257

10.6.1 球面上的曲波257

10.6.2 曲波变换算法258

10.6.3 球面上的塔型曲波变换259

10.7 球面上的图像恢复与分解261

10.7.1 去噪261

10.7.2 形态成分分析262

10.7.3 修补262

10.8 应用264

10.8.1 在核聚变物理中的应用264

10.8.2 宇宙学中的应用265

10.9 数值实验指南268

10.9.1 MR/S工具箱268

10.9.2 球面上非抽取小波变换268

10.9.3 球面上塔型小波变换268

10.10 总结270

第11章 压缩感知271

11.1 引言271

11.2 不相干性和稀疏性272

11.3 感知协议272

11.3.1 不相干感知与稀疏信号恢复273

11.4 稳定压缩感知275

11.4.1 约束等距性（RIP）275

11.4.2 对于可压缩性和噪声的稳定性275

11.5 设计良好的矩阵：随机感知276

11.6 冗余字典的感知277

11.7 在空间科学中的压缩感知277

11.7.1 数据转换的困境277

11.7.2 压缩感知解决方案278

11.8 数值实验指南279

11.9 总结281

算法列表282

参考文献284