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第一章 实变函数论发展简史1

一、实变函数论产生的背景与意义1

二、实变函数论的发展历史2

第二章 集合与点集6

2.1集合及其运算6

一、集合的概念6

二、集合的运算7

三、域（代数）9

四、集合列的上极限、下极限与极限10

习题2.112

2.2集合的基数13

一、集合的对等与基数13

二、可数集16

习题2.219

2.3不可数无穷集19

习题2.321

2.4 “R”中的点集22

一、度量空间22

二、邻域与极限23

三、与距离有关的其他概念23

习题2.424

2.5点的分类25

一、内点、聚点与边界点25

二、孤立集与稠密集27

习题2.528

2.6开集、闭集及其构造29

一、开集、闭集及其性质29

二、一维开集、闭集、完备集的构造31

三、康托尔集32

四、Rn （n≥2）中的开集与闭集33

习题2.634

第三章 可测集36

3.1勒贝格测度36

一、勒贝格外测度36

二、勒贝格内测度39

三、勒贝格测度40

习题3.146

3.2可测集类与可测集的构造48

一、博雷尔集的可测性48

二、可测集的构造50

习题3.252

3.3乘积空间52

习题3.353

第四章 可测函数54

4.1可测函数的概念及其简单性质55

一、可测函数的概念55

二、可测函数的性质57

三、可测函数与简单函数的关系59

习题4.161

4.2可测函数列的几种收敛性62

一、几乎处处收敛与一致收敛63

二、几乎处处收敛与依测度收敛65

习题4.269

4.3可测函数的构造——可测函数与连续函数的关系69

一、鲁金定理及其逆定理70

二、可测函数的连续逼近——弗雷歇定理73

习题4.373

第五章 勒贝格积分理论74

5.1黎曼积分回顾与勒贝格积分简介74

5.2有界函数的勒贝格积分及其性质76

一、小和与大和77

二、勒贝格积分及其存在条件78

三、勒贝格积分与黎曼积分的关系81

四、勒贝格积分的性质82

习题5.287

5.3一般可测函数的勒贝格积分88

一、非负函数的勒贝格积分88

二、一般函数的勒贝格积分89

三、勒贝格积分的几何意义94

习题5.395

5.4勒贝格积分的极限定理96

一、勒贝格控制收敛定理及其推论97

二、勒维定理101

三、法都引理104

四、三大极限定理的等价性106

五、黎曼积分存在的充分必要条件107

习题5.4109

第六章 勒贝格意义下的微分与不定积分111

6.1基本概念111

一、导数111

二、勒贝格不定积分114

三、有界变差函数114

四、绝对连续函数121

习题6.1125

6.2有界变差函数的可微性125

一、单调函数的可微性125

二、有界变差函数的可微性127

习题6.2129

6.3勒贝格积分意义下的牛顿-莱布尼茨公式129

一、勒贝格积分意义下的积分上、下限函数及其性质129

二、绝对连续函数的可微性——勒贝格积分意义下的牛顿-莱布尼茨公式132

习题6.3135

6.4富比尼定理与分部积分公式135

一、重积分与累次积分的关系135

二、分部积分公式138

习题6.4139

参考文献140

名词索引141

习题答案与提示145