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第一章 引论1

1 数值计算方法的内容与意义1

1.1 计算机与算法1

前言页1

1.2 本书的内容和线索3

1.3 意义与学习方法5

2 微积分若干知识的回顾6

2.1 一些基本概念与记号6

2.2 若干基本定理10

3 误差13

3.1 例子与几种误差13

3.2 基本概念16

3.3 算术运算和函数求值的误差界22

3.4 关于误差分析的方法27

4.1 浮点机器数系及运算的舍入误差30

4 稳定性与收敛性30

4.2 算法的数值稳定性37

4.3 收敛性与收敛速度46

5 赋范线性空间与内积空间50

5.1 线性空间50

5.2 范数与赋范线性空间53

5.3 内积与内积空间56

5.4 正交序列与正交多项式60

习题67

第二章 函数的插值与逼近73

1 问题的提法73

1.1 函数插值与逼近的一般问题73

1.2 代数插值76

1.3 曲线拟合78

1.4 最佳逼近81

2.1 基函数83

2 Lagrange插值83

2.2 Lagrange插值多项式85

2.3 余项87

3 迭代插值92

3.1 问题的提出92

3.2 Neville法92

3.3 Aitken法96

3.4 运算次数97

4 Newton插值98

4.1 基函数98

4.2 均差与差分99

4.3 Newton均差插值104

4.4 Newton差分插值107

5 Hermite插值110

5.1 带导数插值问题的一般描述110

5.2 基函数与插值多项式111

5.3 余项113

5.4 带导数插值的其它例子114

6 分段多项式插值117

6.1 高次插值的问题117

6.2 分段线性插值120

6.3 分段三次Hermite插值123

7 三次样条插值126

7.1 三次样条插值问题的提法126

7.2 插值函数的建立129

7.3 误差界与收敛性134

8 反插值135

8.1 插值与反插值135

8.2 利用函数的插值多项式反插136

8.3 构造反函数的插值多项式138

9 离散点的最小二乘曲线拟合139

9.1 问题提法及拟合模型139

9.2 线性模型的正规方程141

9.3 基于正交基的线性模型146

9.4 非线性模型举例149

10 连续函数的最佳平方逼近154

10.1 问题提法及正规方程154

10.2 利用多项式作平方逼近157

10.3 利用正交函数组作平方逼近159

评注161

习题163

第三章 数值积分方法173

1 梯形公式与Simpson公式175

1.1 梯形公式175

1.2 Simpson公式176

1.3 代数精确度的概念179

2 等距节点积分公式181

2.1 闭型Newton-cotes积分公式181

2.2 开型Newton-cotes积分公式183

2.3 Newton-cotes公式的数值稳定性185

3 复合的数值积分公式186

3.1 引言186

3.2 复合梯形公式186

3.3 复合Simpson公式188

4 外推方法190

4.1 复合公式节点加密计算190

4.2 外推方法192

4.3 Romberg算法195

4.4 外推算法的进一步讨论198

5 Gauss求积方法201

5.1 Gauss型求积公式201

5.2 Gauss型求积公式的例子207

5.3 Gauss型求积公式的其它性质211

5.4 预先规定某些节点的Gauss型求积公式212

6.1 自适应计算问题214

6 自适应求积方法214

6.2 自适应Simpson算法215

7 奇异积分和振荡函数积分的计算218

7.1 奇异积分计算218

7.2 振荡函数积分的计算223

评注227

附录A 求积公式误差的Peano估计229

习题231

第四章 常微分方程的数值方法236

1 基本概念和准备知识236

1.1 常微分方程的初值问题236

1.2 初值问题数值解的基本概念239

1.3 常系数线性差分方程240

2 Euler方法242

2.1 显式Euler方法242

2.2 隐式Euler方法和梯形方法245

2.3 改进的Euler方法247

2.4 单步法的局部截断误差和阶248

3 Runge-Kutta方法250

3.1 Runge-Kutta方法的一般形式250

3.2 二、三、四阶的Runge-Kutta方法253

3.3 其它Runge-Kutta方法260

4 单步法的进一步讨论261

4.1 收敛性261

4.2 相容性264

4.3 稳定性266

4.4 变步长和误差控制方法270

5 线性多步法274

5.1 线性多步法的一般问题274

5.2 线性多步法的例子279

5.3 预测-校正方法286

6.1 收敛性和稳定性290

6 线性多步法的进一步讨论290

6.2 外推方法294

7 一阶方程组的数值方法296

7.1 数值方法推广到方程组296

7.2 刚性方程组介绍297

评注299

习题300

第五章 数值代数的准备知识303

1 矩阵及矩阵的运算303

1.1 矩阵的概念303

1.2 矩阵的线性运算与乘法306

1.3 方阵的行列式及线性方程组的解308

1.5 矩阵的分块311

1.4 方阵的逆311

2 几种特殊类型的矩阵314

2.1 对称矩阵与正定矩阵314

2.2 正交矩阵316

2.3 Hermile矩阵与酉矩阵318

2.4 对角占优矩阵320

3 矩阵变换321

3.1 初等变换321

3.2 相似变换324

3.3 正交换与酉变换325

4 特征值与特征向量326

4.1 基本概念326

4.2 若干基本性质328

4.3 Jordan标准形334

5.1 矩阵范数的定义336

5 矩阵的范数336

5.2 常用的矩阵范数337

5.3 范数的几个性质342

5.4 向量与矩阵的极限344

习题347

第六章 线性代数方程组的解法353

1 Gauss消去法354

1.1 方法的描述354

1.2 使用的条件及运算次数358

1.3 矩阵的三角分解360

1.4 行列式与逆矩阵的计算362

2 主元素Gauss消去法364

2.1 主元素及其选取问题364

2.2 全主元素消去法365

2.3 列主元素消去法370

3 Gauss-Jordan消去法374

3.1 无回代的消去法374

3.2 列主元Gauss-Jordan消去法376

3.3 Gauss-Jordan法求逆矩阵378

4 直接三角分解法381

4.1 线性递推计算与LU分解381

4.2 Doolittle分解法382

4.3 列主元三角分解法385

4.4 Cholesky分解法(平方根法)388

4.5 改进的平方根法392

4.6 追赶法394

5 直接法的误差分析397

5.1 解的误差估计397

5.3 舍入误差界403

6 迭代法的基本理论及Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法406

6.1 迭代法的简单形式和基本方法406

6.2 迭代法收敛性分析409

6.3 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性414

7 超松弛迭代法和块迭代方法415

7.1 超松弛迭代法415

7.2 块迭代方法419

7.3 一个模型问题421

8 共轭斜量方法423

8.1 与方程组等价的极值问题，最速下降法423

8.2 共轭斜量法426

评注430

第七章 矩阵特征值问题计算方法442

1 特征值问题的性质及正交相似变换442

1.1 特征值的范围442

1.2 特征值的扰动445

1.3 Householder变换446

1.4 Givens变换450

1.5 矩阵的QR分解452

2.1 幂法455

2 幂法求特征值455

2.2 加速方法457

2.3 收缩方法458

2.4 反幂法460

3 用正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式462

3.1 矩阵的schur分解462

3.2 化矩阵为Hessenberg形式463

4 QR方法468

4.1 QR计算方法468

4.2 Hessenberg矩阵的QR方法470

4.3 带有位移的QR方法473

4.4 实际计算的QR方法475

5 对称矩阵特征值问题481

5.1 对称特征值问题的性质481

5.2 Rayleigh商加速和Rayleigh商迭代482

5.3 对称的QR方法484

5.4 求对称三对角矩阵特征值的二分法486

5.5 Jacobi方法489

附录A 定理3.2的证明496

附录B 定理3.3的证明498

5.2 扰动方程组解的误差界498

评注499

习题500

第八章 非线性方程的数值解法504

1 二分法505

1.1 二分算法505

1.2 线性插值方法507

2 迭代法的算法和理论508

2.1 不动点迭代法508

2.2 不动点迭代法的一般理论510

2.3 局部收敛性，收敛阶514

3 Newton迭代法517

3.1 Newton法计算公式517

3.2 Newton法的几何意义518

3.3 重根情形519

3.4 Newton法的应用举例521

4 割线法和Muller方法523

4.1 割线法的计算公式523

4.2 割线法的收敛性524

4.3 Muller方法527

5 迭代的加速方法528

5.1 Aitken加速方法528

5.2 Steffensen迭代方法530

6 代数方程和非线性方程组求根方法532

6.1 代数方程的求根532

6.2 非线性方程组536

附录A Newton法与割线法计算量的比较541

评注543

习题544

参考书目547