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第1章 数学建模概论1

1.1 数学模型和数学建模1

1.1.1 模型1

1.1.2 数学模型1

1.1.3 数学建模2

1.2 建立数学模型的过程与建模示例2

1.2.1 建立数学模型的过程2

1.2.2 建模示例：椅子摆放问题3

1.3 建立数学模型的一般步骤5

习题19

第2章 初等数学模型10

2.1 量纲分析法10

2.1.1 量纲齐次性原则10

2.1.2 量纲分析的一般方法10

2.1.3 Buckingham Pi定理11

2.1.4 建模示例：航船阻力问题11

2.1.5 建模示例：抛射问题13

2.2 比例与函数建模法15

2.2.1 动物体型问题15

2.2.2 双重玻璃的功效16

2.2.3 席位分配模型18

2.2.4 效益的合理分配20

习题224

第3章 微分方程与差分方程模型25

3.1 微分方程理论25

3.1.1 微分方程基本概念25

3.1.2 微分方程求解26

3.2 经济增长模型28

3.2.1 道格拉斯（Douglas）生产函数28

3.2.2 资金与劳动力的最佳分配29

3.2.3 劳动生产率增长的条件30

3.3 人口的预测和控制31

3.3.1 指数增长模型32

3.3.2 阻滞增长模型——Logistic模型33

3.3.3 模型的参数估计、检验和预报34

3.3.4 考虑年龄结构和生育模式的人口模型36

3.4 军事上的应用40

3.4.1 军队作战模型40

3.4.2 模型求解42

3.5 差分方程理论46

3.5.1 差分的概念46

3.5.2 差分方程的概念46

3.5.3 一阶常系数线性差分方程及其迭代解法47

3.5.4 差分方程在经济学中的应用49

习题349

第4章 随机模型51

4.1 概率论基本知识51

4.1.1 概率的概念51

4.1.2 概率的性质51

4.1.3 随机变量及其分布52

4.1.4 随机变量的数学期望52

4.1.5 随机变量的方差、协方差与相关系数53

4.1.6 常用离散分布53

4.1.7 常用连续分布54

4.2 数理统计基本知识54

4.2.1 三大抽样分布54

4.2.2 参数估计55

4.2.3 假设检验58

4.2.4 方差分析61

4.2.5 回归分析63

4.3 随机转移模型70

4.3.1 马氏链模型70

4.3.2 基因遗传与生物繁殖74

4.4 随机存储模型76

4.4.1 离散型随机变量的存储模型76

4.4.2 连续型随机变量的存储模型76

4.5 蒙特卡罗方法78

4.5.1 蒙特卡罗方法的来源和思想78

4.5.2 蒙特卡罗方法的应用80

4.5.3 蒙特卡罗形式与一般步骤80

4.5.4 随机数的生成82

习题487

第5章 规划模型89

5.1 线性规划89

5.1.1 一般线性规划问题的数学模型89

5.1.2 线性规划问题的基本性质92

5.1.3 单纯形法93

5.1.4 人工变量法97

5.1.5 对偶理论与灵敏度分析101

5.2 目标规划106

5.2.1 目标规划问题的提出107

5.2.2 目标规划的数学模型108

5.2.3 目标规划的图解法109

5.2.4 解目标规划的单纯形法111

5.2.5 目标规划的灵敏度分析114

5.3 整数规划117

5.3.1 整数规划模型及其一般形式117

5.3.2 割平面法118

5.3.3 分枝定界法120

5.3.4 0-1型整数规划122

5.3.5 指派问题123

5.4 动态规划125

5.4.1 多阶段决策问题126

5.4.2 动态规划的基本概念及基本定理127

5.4.3 动态规划模型及求解方法128

5.4.4 动态规划的应用133

习题5137

第6章 图论模型139

6.1 图的基本概念与基本定理139

6.1.1 图的定义、顶点的次数及图的同构140

6.1.2 路径与连通的相关概念142

6.1.3 有向图的连通性143

6.1.4 图的矩阵表示144

6.2 树与生成树146

6.2.1 树的定义及其性质147

6.2.2 生成树的定义及构造方法149

6.2.3 最小生成树（MST）问题及其算法150

6.2.4 最小生成树问题的应用及推广152

6.3 最短路径问题153

6.3.1 解最短路径问题的基本方法154

6.3.2 赋权有向图中的最短路径158

6.3.3 最短路径问题的扩展159

6.3.4 最短路径的应用——选址问题及中国邮递员问题161

6.4 网络最大流、最小流问题163

6.4.1 基本概念及定理163

6.4.2 解最大流问题的方法：Ford和Fulkerson标记法165

6.4.3 最小费用流及相关解法166

习题6168

第7章 其他模型171

7.1 模糊数学171

7.1.1 模糊集与模糊子集171

7.1.2 模糊聚类分析174

7.1.3 模糊模型识别177

7.1.4 经典综合评判决策180

7.1.5 模糊协调决策法182

7.2 灰色系统理论183

7.2.1 灰色系统基本概念183

7.2.2 灰色系统预测184

7.2.3 灰色系统模型的检验185

7.2.4 灰色系统理论的建模思想187

7.2.5 灰色系统预测模型的建立188

7.2.6 应用举例189

7.3 层次分析法建模193

7.3.1 层次分析法的基本步骤193

7.3.2 步骤的实现过程193

7.4 数据拟合与插值197

7.4.1 简介197

7.4.2 数据拟合的最小二乘法198

7.4.3 多项式插值204

7.5 变分法建模209

7.5.1 变分法简介209

7.5.2 国民收入的增长214

7.5.3 产品价格的最佳调整215

7.6 合作对策和风险决策218

7.6.1 合作型对策218

7.6.2 风险决策问题220

习题7222

第8章 数学软件Mathematica224

8.1 Mathematica入门224

8.1.1 Mathematica界面224

8.1.2 输入与执行225

8.1.3 Mathematica的语法要求225

8.1.4 查询与帮助226

8.1.5 文件的存取226

8.1.6 Mathematica的扩展226

8.1.7 数的表示和计算226

8.1.8 变量的表示与运算227

8.1.9 函数的表示与运算228

8.1.1 0表的表示230

8.2 利用Mathematica绘制图形230

8.2.1 基本一元函数作图230

8.2.2 参数方程所确定的函数作图232

8.2.3 极坐标式函数作图233

8.2.4 隐函数作图233

8.2.5 绘制平面散点图234

8.2.6 平面图形的可选项234

8.2.7 空间图形的绘制237

8.3 利用Mathematica解方程239

8.3.1 n次方程的求解239

8.3.2 求解方程近似根240

8.3.3 方程组的求解241

8.4 利用Mathematica求解微积分241

8.4.1 求极限241

8.4.2 求导数和微分243

8.4.3 求不定积分与定积分244

8.4.4 求多重积分245

8.4.5 求解微分方程245

8.4.6 无穷级数的相关运算246

8.4.7 求函数的极大值与极小值247

8.4.8 数据拟合247

8.5 利用Mathematica进行线性代数运算248

8.5.1 矩阵的输入与输出249

8.5.2 矩阵的运算249

8.5.3 求解线性方程组251

8.5.4 向量组的单位正交化252

8.6 利用Mathematica进行概率与数理统计运算252

8.6.1 常用随机变量分布的计算252

8.6.2 数据的统计与分析254

8.6.3 区间估计255

8.6.4 假设检验256

第9章 LINDO软件简介258

9.1 LINDO软件的求解过程258

9.2 一个简单的LINDO程序259

9.3 灵敏度分析262

9.4 整数线性规划的求解267

9.5 二次规划求解271

部分习题参考答案275

附录1 标准正态分布表283

附录2 相关系数临界值表284

附录3 历年全国大学生数学建模竞赛题目286

参考文献288