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第1章 绪论1

1.1 数值分析研究的内容与特点1

1.2 误差2

1.2.1 误差的来源与分类2

1.2.2 绝对误差、相对误差与准确数字2

1.2.3 计算机中数的表示与舍入误差4

1.2.4 数据误差影响的估计6

1.3 算法的数值稳定性8

小结9

习题10

第2章 解线性方程组的直接法12

2.1 高斯消去法13

2.1.1 高斯消去法13

2.1.2 高斯消去法中乘除法的运算量18

2.1.3 高斯消去法顺利进行的条件18

2.1.4 高斯消去法的算法组织19

2.1.5 列主元高斯消去法20

2.2 矩阵的三角分解22

2.2.1 高斯消去法的矩阵形式22

2.2.2 矩阵的LU分解25

2.2.3 平方根法和改进平方根法30

2.2.4 求解三对角方程组的追赶法35

2.3 舍入误差对解的影响37

2.3.1 向量范数与矩阵范数37

2.3.2 舍入误差对解的影响44

2.4 正交变换与矩阵的QR分解49

2.4.1 吉文斯变换与豪斯霍尔德变换49

2.4.2 矩阵的QR分解52

2.5 超定方程组65

2.5.1 线性最小二乘问题65

2.5.2 最小二乘问题的求解67

小结71

习题72

计算实习75

第3章 解线性方程组的迭代法77

3.1 向量序列和矩阵序列的极限77

3.2 解线性方程组的基本迭代法78

3.2.1 迭代法的一般格式78

3.2.2 三种基本迭代法78

3.3 迭代法的收敛性83

3.3.1 迭代法的矩阵表示83

3.3.2 迭代法的收敛性84

3.4 共轭梯度法92

3.4.1 求解线性方程组与求解二次函数极小点的等价性92

3.4.2 共轭梯度法93

3.5 基于伽辽金原理的迭代法100

3.5.1 伽辽金原理和克雷洛夫子空间100

3.5.2 阿诺尔迪过程101

3.5.3 阿诺尔迪算法103

3.5.4 广义极小残余算法106

小结110

习题111

计算实习113

第4章 插值法115

4.1 多项式插值问题115

4.2 拉格朗日插值多项式118

4.3 牛顿插值多项式120

4.3.1 差商的定义121

4.3.2 牛顿插值多项式121

4.3.3 差商的性质124

4.4 埃尔米特插值多项式125

4.5 分段低次插值多项式129

4.5.1 高次插值多项式的缺陷129

4.5.2 分段低次插值法130

4.6 三次样条插值函数132

4.6.1 三次样条插值函数的定义132

4.6.2 三次样条插值函数的导出132

4.6.3 三次样条插值函数的收敛性与误差估计138

小结138

习题139

计算实习141

第5章 函数最优逼近142

5.1 函数的内积、范数和正交多项式142

5.1.1 函数的内积和范数142

5.1.2 正交多项式144

5.2 最优平方逼近151

5.2.1 最优平方逼近151

5.2.2 正规方程组152

5.3 最优一致逼近162

5.3.1 最优一致逼近多项式162

5.3.2 近似最优一致逼近多项式165

小结173

习题174

计算实习176

第6章 数值积分与数值微分177

6.1 牛顿-科茨求积公式177

6.1.1 数值积分的基本思想177

6.1.2 牛顿-科茨求积公式178

6.1.3 复化求积公式180

6.1.4 变步长积分法183

6.1.5 龙贝格积分法184

6.2 待定系数法与高斯型求积公式187

6.2.1 代数精度与待定系数法187

6.2.2 广义佩亚诺定理189

6.2.3 高斯型求积公式191

6.2.4 常用的4种高斯型求积公式197

6.3 数值积分的稳定性201

6.4 数值微分201

6.4.1 插值型数值微分公式202

6.4.2 待定系数法204

6.4.3 外推求导法205

6.4.4 利用三次样条插值函数求导法208

小结208

习题209

计算实习210

第7章 非线性方程（组）的迭代解法212

7.1 求解非线性方程的迭代法212

7.1.1 几种基本迭代法212

7.1.2 迭代法的收敛性219

7.1.3 迭代法的收敛速度224

7.1.4 加速收敛技术226

7.2 求解非线性代数方程组的迭代法228

7.2.1 简单迭代法229

7.2.2 牛顿法231

7.2.3 弦割法234

7.2.4 布洛依登法236

小结237

习题238

计算实习239

第8章 矩阵特征值与特征向量的计算241

8.1 基本性质241

8.2 求一般矩阵特征值的计算方法242

8.2.1 乘幂法及反幂法242

8.2.2 求矩阵全部特征值与特征向量的QR方法245

8.2.3 阿诺尔迪方法251

8.3 求实对称矩阵特征值的计算方法253

8.3.1 雅可比方法253

8.3.2 吉文斯方法256

8.3.3 兰乔斯方法258

8.4 奇异值（SVD）的计算259

8.5 广义特征值问题261

8.5.1 广义Schur分解261

8.5.2 对称正定矩阵的广义Schur分解262

小结262

习题263

计算实习263

第9章 常微分方程数值解法265

9.1 初值问题常用数值解法的建立与使用265

9.1.1 基本数值解法的建立与隐式法的求解265

9.1.2 龙格-库塔法273

9.1.3 待定系数法、预测—校正公式278

9.2 数值解中误差的积累、数值方法的收敛性和绝对稳定性282

9.2.1 数值解中误差的积累和数值方法的收敛性282

9.2.2 绝对稳定性286

9.3 一阶微分方程组与高阶方程的数值解法289

9.3.1 一阶微分方程组289

9.3.2 高阶常微分方程291

9.4 边值问题的数值解法293

9.4.1 有限差分法293

9.4.2 打靶法300

小结302

习题303

计算实习304

第10章 偏微分方程的数值解法305

10.1 椭圆型边值问题305

10.1.1 差分方程的建立305

10.1.2 差分解的误差估计与收敛性307

10.1.3 一般二阶椭圆型方程边值问题310

10.2 抛物型方程初、边值问题310

10.2.1 差分方程的建立与求解311

10.2.2 差分格式的稳定性313

10.2.3 差分解的误差估计与收敛性315

10.3 双曲型方程混合问题316

10.3.1 一阶双曲型方程316

10.3.2 一阶常系数双曲型方程组317

10.3.3 二阶双曲型方程318

10.4 有限元法320

10.4.1 变分原理320

10.4.2 伽辽金逼近解323

10.4.3 单元及形状函数324

10.4.4 有限元求解步骤327

小结329

习题329

计算实习332

参考文献333