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1 从形式化的终极奇点的组合律到复三维精细双有理几何&陈猛1

1.1 问题的背景1

1.1.1 序言1

1.1.2 高维双有理几何概述2

1.1.3 三维代数簇的精细分类问题3

1.2 奇点篮及其组合数学4

1.2.1 三维终极奇点4

1.2.2 Reid的奇点篮及黎曼-洛克公式5

1.2.3 组合意义下的终极奇点5

1.2.4 奇点篮的典范序列7

1.2.5 基本挤压数∈n（B）的计算8

1.3 加权奇点篮的计算公式和关键不等式9

1.3.1 加权奇点篮与不变量9

1.3.2 加权奇点篮的挤压偏序及其性质9

1.3.3 加权奇点篮的典范序列9

1.3.4 用欧拉特征标表示奇点篮10

1.4 形式化奇点篮的组合律的几何应用13

1.4.1 几何奇点篮13

1.4.2 一般型三维簇的精细双有理几何13

1.4.3 有理法诺三维簇的精细有界性14

1.4.4 加权完全交三维簇的完整分类15

参考文献15

2 图论中的若干问题&范更华19

2.1 七桥问题19

2.2 欧拉图分解及相关问题20

2.3 四色问题22

2.4 哈密顿圈问题23

2.5 Ramsey数问题25

2.6 整数流问题26

2.7 子图和问题27

2.8 图论的应用29

附记30

参考文献30

3 双哈密顿上同调与非线性可积系统&张友金32

3.1 引言32

3.2 KdV方程簇及其双哈密顿结构34

3.3 无穷维哈密顿结构及其上同调38

3.4 双哈密顿结构及其上同调44

3.5 流体力学型双哈密顿结构的拓扑形变48

3.6 结尾51

参考文献52

4 二维共形量子场论：数学定义和顶点算子代数表示理论方法&黄一知54

4.1 引言54

4.2 定义、早期结果和猜想55

4.2.1 定义55

4.2.2 Verlinde猜想和Verlinde公式57

4.2.3 Moore-Seiberg多项式方程和猜想58

4.2.4 Witten的猜想和问题59

4.2.5 关于Calabi-Yau非线性西格玛模型的猜想59

4.2.6 中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类猜想60

4.2.7 早期结果和猜想所提出的数学问题61

4.3 一个长期研究纲领和已经解决的主要问题62

4.3.1 一个构造和研究共形场论的长期纲领62

4.3.2 顶点算子代数的几何63

4.3.3 交错算子和顶点张量范畴64

4.3.4 模不变性66

4.3.5 Verlinde公式、刚性和模性性质68

4.3.6 全共形场论和开-闭共形场论70

4.3.7 上同调和变形理论71

4.3.8 顶点算子代数的扭曲模和不动点子代数72

4.3.9 关于Schellekens分类猜想的研究进展73

4.4 有待解决的问题和猜想74

4.4.1 构造满足Kontsevich-Segal-Moore-Seiberg公理的有理共形场论74

4.4.2 阶限制顶点代数上同调理论和模的完全可约性76

4.4.3 共形场论的模空间77

4.4.4 对数共形场论的构造和研究78

4.4.5 轨形共形场论79

4.4.6 月光模顶点算子代数的唯一性和中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类80

4.4.7 Calabi-Yau超共形场论80

4.4.8 顶点算子代数方法和共形网方法的关系81

参考文献82

5 等价关系、分类问题与描述集合论&高速92

5.1 等价关系92

5.2 作为等价关系的分类问题93

5.3 等价关系的描述集合论96

5.4 不变量描述集合论100

5.5 轨道等价关系103

5.6 非轨道等价关系105

5.7 结论与前景106

参考文献107

6 拓扑量子场论和几何不变量&阮勇斌116

参考文献116

7 图像恢复问题中的数学方法&董彬 沈佐伟 张小群117

7.1 绪论117

7.2 小波框架方法121

7.2.1 小波框架变换121

7.2.2 小波框架变换对图像的逼近125

7.2.3 小波框架图像恢复模型与算法129

7.3 PDE方法134

7.3.1 全变差135

7.3.2 广义全变差136

7.3.3 Mumford-Shah模型137

7.3.4 Perona-Malik方程140

7.4 小波框架和PDE方法的联系与融合141

7.4.1 小波框架模型和变分模型的联系142

7.4.2 小波框架迭代算法和PDE模型的联系147

7.5 数据驱动稀疏表达152

7.5.1 随机方法152

7.5.2 K-SVD：基于过完备字典的稀疏表达155

7.5.3 数据驱动的紧框架构造157

7.5.4 用深层神经网络进行图像降噪和修补160

7.5.5 用深层卷积神经网络实现图像超分辨162

参考文献166

8 湍流：19世纪的问题，21世纪的挑战&何国威184

参考文献184

9 表示论中的Dirac上同调&黄劲松186

9.1 引言186

9.1.1 起源186

9.1.2 概述187

9.2 关于Dirac上同调的Vogan猜想188

9.2.1 实约化群与（g,K）-模188

9.2.2 Dirac算子的定义191

9.2.3 Vogan猜想及推广192

9.3 Harish-Chandra模的Dirac上同调194

9.3.1 有限维模的Dirac上同调194

9.3.2 酉Aq（λ）-模的Dirac上同调195

9.4 Dirac上同调与（g,K）-上同调196

9.4.1 （g,K）-上同调196

9.4.2 Dirac上同调与（g,K）-上同调的关系199

9.5 最高权模的Dirac上同调200

9.5.1 Kostant立方Dirac算子200

9.5.2 ？q范畴202

9.5.3 不可约最高权模的Dirac上同调205

9.6 Dirac上同调与u-上同调206

9.6.1 u-上同调206

9.6.2 p＋-上同调、u-上同调与Dirac上同调208

9.7 Dirac上同调的分步计算210

9.8 K-特征标与分歧律212

9.8.1 最低权模的K-特征标与Dirac指标212

9.8.2 On？ GLn与Sp2n？ GL2n的分歧律215

9.8.3 GLn？SO2n与GLn？ Sp2n的分歧律217

9.9 椭圆表示与内窥理论218

9.9.1 椭圆表示218

9.9.2 正交关系与超缓增广义函数220

9.9.3 有正则无穷小特征标的椭圆表示221

9.9.4 离散序列表示的伪系数函数222

9.9.5 内窥传递223

9.9.6 亚椭圆表示226

参考文献226

汉英术语对照232