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第一章 函数与极限1

第一节 考试要求及考点精讲1

一、考试要求1

二、考点精讲2

第二节 内容精讲及典型题型2

一、函数及其性质2

二、数列极限及其性质11

三、函数极限及其性质18

四、无穷小量及无穷小的阶22

五、洛必达法则27

六、泰勒公式30

七、求极限的其他方法32

八、连续和间断34

九、闭区间上连续函数的性质37

第三节 专题精讲及解题技巧38

专题一 定积分定义和夹逼准则求极限的技巧38

专题二 单调有界原理求极限的技巧41

专题三 求极限的综合技巧46

专题四 无穷小阶及其反问题51

专题五 闭区间上连续函数性质53

第二章 一元函数导数和微分55

第一节 考试要求及考点精讲55

一、考试要求55

二、考点精讲56

第二节 内容精讲及典型题型56

一、导数定义及左右导数56

二、导数和微分的计算61

三、中值定理74

四、单调性和凹凸性79

五、渐近线和曲率、曲率半径（数学一、二）86

第三节 专题精讲及解题技巧88

专题一 导数定义与计算的技巧88

专题二 单调性、极值、凹凸性、拐点的综合性题目93

专题三 中值定理的解题技巧96

专题四 不等式证明的技巧（含积分不等式）103

专题五 方程根的问题证明103

第三章 一元函数积分学107

第一节 考试要求及考点精讲107

一、考试要求107

二、考点精讲107

第二节 内容精讲及典型题型108

一、原函数和不定积分108

二、定积分定义、性质及应用125

三、变限积分及其导数128

四、定积分的计算131

五、广义积分的敛散性137

六、积分的几何应用143

第三节 专题精讲及解题技巧150

专题一 不定积分的技巧150

专题二 定积分的技巧153

专题三 变限积分的解题技巧154

专题四 积分综合题目的技巧157

专题五 积分不等式证明的技巧159

专题六 极坐标，参数方程的几何应用161

第四章 多元函数的微分学165

第一节 考试要求及考点精讲165

一、考试要求165

二、考点精讲166

第二节 内容精讲及典型题型166

一、多元函数的基本理论166

二、多元函数的偏导数169

三、多元函数微分的基本理论与计算173

四、多元函数的极值和最值181

第三节 专题精讲及解题技巧190

专题一 偏导数和全微分的定义190

专题二 复合函数的偏导数和全微分的解题技巧193

专题三 隐函数的偏导数和全微分的解题技巧195

第五章 二元函数积分学201

第一节 考试要求及考点精讲201

一、考试要求201

二、考点精讲201

第二节 内容精讲及典型题型202

一、二重积分的概念和性质202

二、二重积分的计算206

三、二重积分的应用（数学一、二）217

第三节 专题精讲及解题技巧219

专题一 二重积分的计算技巧219

专题二 分块区域上的二重积分224

专题三 抽象函数的二重积分228

专题四 二重积分的证明题和不等式证明技巧229

专题五 积分区域用参数表示的二重积分232

第六章 微分方程233

第一节 考试要求及考点精讲233

一、考试要求233

二、考点精讲233

第二节 内容精讲及典型题型234

一、一阶线性微分方程234

二、高阶微分方程242

三、差分方程（数学三）253

第三节 专题精讲及解题技巧255

专题一 变限积分对应的微分方程255

专题二 偏微分方程转化为常微分方程257

专题三 含参数的二阶线性非齐次微分方程258

专题四 幂级数的和函数对应的微分方程259

专题五 微分方程的综合题260

专题六 微分方程的证明题264

第七章 无穷级数（数学一、二）267

第一节 考试要求及考点精讲267

一、考试要求267

二、考点精讲267

第二节 内容精讲及典型题型268

一、常数项级数268

二、正项级数270

三、交错级数274

四、幂级数及其性质279

五、函数的幂级数展开282

六、傅里叶级数287

第三节 专题精讲及解题技巧291

专题一 利用微分方程求和函数291

专题二 利用泰勒公式求和函数293

专题三 常数项级数求和的技巧294

专题四 幂级数证明的技巧296

第八章 向量代数与空间解析几何（数学一）299

第一节 考试要求及考点精讲299

一、考试要求299

二、考点精讲299

第二节 内容精讲及典型题型300

一、向量的相关概念300

二、向量的运算301

三、平面方程和直线方程305

四、直线与平面之间的角度307

五、点、线、面之间的距离309

六、旋转曲面和二次曲面310

七、空间曲线314

八、多元微分学的几何应用316

第三节 专题精讲及解题技巧319

专题一 直线与平面之间的关系319

专题二 空间直线生成的曲面320

第九章 三重积分（数学一）322

第一节 考试要求及考点精讲322

一、考试要求322

二、考点精讲322

第二节 内容精讲及典型题型322

一、三重积分的定义和性质322

二、三重积分的计算324

三、柱坐标和球坐标法326

第三节 专题精讲及解题技巧329

专题一 三重积分的综合计算329

专题二 三重积分的物理应用331

第十章 曲线积分与曲面积分（数学一）335

第一节 考试要求及考点精讲335

一、考试要求335

二、考点精讲335

第二节 内容精讲及典型题型336

一、第一类曲线积分336

二、第一类曲线积分的物理应用339

三、第二类曲线积分341

四、格林公式和积分与路径无关344

五、第一类曲面积分346

六、第二类曲面积分349

七、空间中第二类曲线积分353

八、场论初步356

第三节 专题精讲及解题技巧359

专题一 格林公式解题技巧359

专题二 积分与路径无关的综合题361

专题三 高斯公式解题技巧363

专题四 场论综合题364

第十一章 几何应用专题366

一、简单几何应用366

二、微分方程在几何中的应用375

三、级数在几何中的应用380

第十二章 物理应用专题（数学一、二）383

一、微元法的应用383

二、牛顿定律的应用388

三、综合物理应用392

第十三章 经济学应用专题（数学三）397

一、经济学函数、边际与弹性397

二、函数极值的应用401

三、差分、积分与复利的应用409

附录一 常用数学公式412

一、常用初等代数公式412

二、常用基本三角公式413

三、常用求面积和体积的公式415

附录二 基本初等函数及其图形417

附录三 几种常用的曲线420