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目录1

序1

第二版前言1

第一版前言1

致学生1

第1章 函数与模型1

1.1 函数1

1.1.1 函数的概念及其表示法1

1.1.2 函数的几种特性6

1.1.3 基本初等函数及其性质8

1.1.4 函数的复合11

1.1.5 反函数12

1.1.6 初等函数13

习题1.1（A）15

习题1.1（B）16

1.2 简单数学模型举例18

1.2.1 线性模型18

1.2.2 指数函数模型20

1.2.3 三角函数模型23

习题1.2（A）24

习题1.2（B）25

1.3 演示与实验25

1.3.1 Mathematica的启动运行和联机帮助系统26

1.3.2 常用语法规则简介29

1.3.3 Mathematica计算举例31

1.3.4 在Mathematica中定义函数32

1.3.5 用Mathematica绘制函数图形34

1.3.6 曲线拟合37

习题1.338

2.1.1 数列的极限40

第2章 函数极限与连续40

2.1 极限40

2.1.2 函数的极限44

2.1.3 函数的左极限与右极限49

2.1.4 极限的性质50

2.1.5 极限的运算法则51

习题2.1（A）54

习题2.1（B）55

2.2 两个重要极限56

习题2.2（A）59

习题2.2（B）60

2.3 无穷小量与无穷大量60

2.3.1 无穷小量60

2.3.3 无穷小量的阶的比较61

2.3.2 无穷大量61

习题2.3（A）63

习题2.3（B）64

2.4 函数的连续性64

2.4.1 函数的连续性与连续函数65

2.4.2 函数的间断点67

2.4.3 闭区间上连续函数的性质68

习题2.4（A）70

习题2.4（B）71

2.5 演示与实验72

2.5.1 用Mathematica计算极限72

2.5.2 数列极限过程演示74

2.5.3 用对分区间法求方程在某个区间的根78

习题2.579

3.1 导数81

3.1.1 导数概念的引入81

第3章 导数与微分81

3.1.2 导数的定义83

3.1.3 可导与连续的关系86

习题3.1（A）88

习题3.1（B）89

3.2 导函数89

3.2.1 导函数定义89

3.2.2 高阶导数93

习题3.2（A）95

习题3.2（B）95

3.3 求导法则97

3.3.1 四则运算法则97

3.3.2 复合函数求导法100

3.3.3 隐式求导法103

3.3.4 由参数方程表示的函数的导数107

习题3.3（A）110

习题3.3（B）112

3.4 微分与线性近似113

3.4.1 微分的定义113

3.4.2 线性近似和近似计算115

＊3.4.3 牛顿法简介116

习题3.4（A）118

习题3.4（B）119

3.5 演示与实验119

3.5.1 利用Mathematica求函数导数119

3.5.2 用Mathematica演示导数的几何意义121

3.5.3 牛顿法求方程的根122

习题3.5124

4.1 微分中值定理125

4.1.1 罗尔（Rolle）中值定理125

第4章 微分中值定理和导数的应用125

4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理126

4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理129

习题4.1（A）130

习题4.1（B）130

4.2 洛必达法则131

4.2.1 关于？型及？型不定式的洛必达法则132

4.2.2 其他类型的不定式的极限134

习题4.2（A）138

习题4.2（B）138

4.3 函数的单调性与凸性139

4.3.1 函数单调性及其判别法139

4.3.2 函数的凸性与曲线的拐点142

习题4.3（A）145

4.4 极值与优化146

习题4.3（B）146

4.4.1 函数的极值147

4.4.2 函数的最大、最小值150

4.4.3 最优化问题151

习题4.4（A）153

习题4.4（B）155

4.5 不等式的证明155

4.5.1 利用微分中值定理证明不等式155

4.5.2 利用函数的单调性证明不等式156

4.5.3 利用函数的极值与最值证明不等式157

4.5.4 利用函数图形的凸性证明不等式158

习题4.5（A）158

习题4.5（B）159

4.6 变化率问题159

4.6.1 相关变化率159

4.6.2 平面曲线的曲率162

习题4.6（A）168

习题4.6（B）169

4.7 导数在经济学中的应用170

4.7.1 边际与边际分析170

4.7.2 弹性与弹性分析172

习题4.7（A）174

习题4.7（B）175

4.8 演示与实验176

4.8.1 利用导数分析函数的单调性、凸性和渐近线176

4.8.2 局部极值命令介绍178

习题4.8178

第5章 积分179

5.1 定积分的概念与基本性质179

5.1.1 典型例子179

5.1.2 定积分的定义181

5.1.3 定积分的基本性质183

习题5.1（A）185

习题5.1（B）186

5.2 原函数与微积分基本定理186

5.2.1 原函数与变上限积分187

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式，不定积分189

习题5.2（A）192

习题5.2（B）192

5.3 基本积分法193

5.3.1 直接积分法194

习题5.3.1（A）195

习题5.3.1（B）195

5.3.2 第一类换元法196

习题5.3.2（A）201

习题5.3.2（B）201

5.3.3 第二类换元法201

习题5.3.3（A）207

习题5.3.3（B）208

5.3.4 分部积分法208

习题5.3.4（A）212

习题5.3.4（B）212

＊5.3.5 数值积分简介213

习题5.3.5（A）217

习题5.3.5（B）217

5.4 反常积分218

5.4.1 无限区间上的反常积分218

5.4.2 无界函数的反常积分221

习题5.4（A）224

习题5.4（B）224

5.5 演示与实验225

5.5.1 定积分的定义225

5.5.2 微积分基本定理226

5.5.3 用Mathematica计算积分227

习题5.5229

第6章 定积分的应用230

6.1 平面图形的面积230

6.1.1 元素法230

6.1.2 平面图形面积231

习题6.1（A）235

习题6.1（B）236

6.2 体积237

6.2.1 平行截面面积为已知的立体体积237

6.2.2 旋转体的体积238

习题6.2（A）244

习题6.2（B）244

6.3 平面曲线的弧长246

习题6.3（A）247

6.4 旋转曲面的面积248

习题6.3（B）248

习题6.4（A）250

习题6.4（B）250

6.5 物理上的应用251

6.5.1 功251

6.5.2 液体的静压力254

习题6.5（A）256

习题6.5（B）257

＊6.6 其它应用举例258

6.6.1 由边际函数求原函数258

6.6.2 收入流和支出流的现值与将来值259

6.6.3 消费者剩余和生产者剩余261

6.6.4 人体血流量的计算262

6.6.5 人体心脏输出的血液量的测量263

习题6.6（A）264

习题6.6（B）265

6.7 演示与实验265

6.7.1 近似计算旋转体体积265

6.7.2 利用数学软件求解实际问题267

习题6.7269

第7章 微分方程270

7.1 微分方程的基本概念270

习题7.1（A）272

习题7.1（B）272

7.2 一阶微分方程273

7.2.1 变量可分离的微分方程273

7.2.2 齐次微分方程274

7.2.3 一阶线性微分方程275

＊7.2.4 欧拉法278

习题7.2（A）281

习题7.2（B）282

7.3 一阶微分方程的应用举例283

习题7.3（A）286

习题7.3（B）287

7.4 高阶微分方程的降阶法287

习题7.4（A）290

习题7.4（B）290

7.5 二阶线性微分方程解的结构291

7.5.1 二阶线性齐次微分方程解的结构291

7.5.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构292

习题7.5（A）293

习题7.5（B）294

7.6 二阶常系数线性微分方程294

7.6.1 二阶常系数线性齐次微分方程的解法294

7.6.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法296

习题7.6（B）301

习题7.6（A）301

7.7 二阶微分方程的应用举例302

7.7.1 导弹追踪飞机问题302

7.7.2 弹簧振动问题304

习题7.7（A）307

习题7.7（B）307

7.8 演示与实验307

7.8.1 微分方程的符号解法307

7.8.2 微分方程的数值解法308

7.8.3 导弹追踪飞机问题311

习题7.8311

微积分应用课题312

附录一 积分表318

附录二 极坐标系简介 几种常用曲线的极坐标方程328

附录三 本书所配光盘的使用方法330

习题参考答案332