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目录1

第1章 函数与极限、连续函数1

1.1 集合、数集、确界1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 数集、确界4

习题1.17

1.2 映射与一元实函数7

1.2.1 常量与变量7

1.2.2 映射8

1.2.3 一元实函数9

1.2.4 几类具有某种特性的函数12

习题1.215

1.3 函数的运算、初等函数16

1.3.1 四则运算16

1.3.2 函数的复合17

1.3.3 反函数19

1.3.4 初等函数23

习题1.325

1.4 数列的极限26

1.4.1 数列极限的定义26

1.4.2 数列极限的四则运算37

1.4.3 数列收敛的判别准则39

习题1.448

1.5 函数的极限49

1.5.1 函数极限的概念49

1.5.2 函数极限与数列极限的关系56

1.5.3 函数极限的有关定理58

1.5.4 两个重要极限63

1.5.5 无穷小量与无穷大量68

习题1.575

1.6.1 函数连续性的概念（连续点、间断点）77

1.6 连续函数77

1.6.2 连续函数的局部性质及运算法则83

1.6.3 闭区间上连续函数的性质85

1.6.4 初等函数的连续性91

习题1.697

第1章总练习题98

第2章 导数与微分102

2.1 导数的概念与求导法则102

2.1.1 导数的概念、可导性与连续性的关系102

2.1.2 求导法则111

习题2.1128

2.2.1 微分的概念131

2.2 微分131

2.2.2 微分的运算136

2.2.3 一阶微分形式的不变性138

2.2.4 微分的应用139

习题2.2143

2.3 高阶导数144

习题2.3151

第2章总练习题152

第3章 中值定理与导数应用156

3.1 微分学基本定理156

3.1.1 费马（Férmat）定理156

3.1.2 中值定理158

习题3.1166

3.2 未定式极限168

3.2.1 “？”型未定式168

3.2.2 “？”型未定式173

3.2.3 其他类型的未定式175

习题3.2177

3.3 泰勒（Taylor）公式178

3.3.1 泰勒多项式与泰勒公式178

3.3.2 泰勒定理180

习题3.3190

3.4.1 函数的单调性191

3.4 函数的单调性与极值191

3.4.2 函数的极值195

3.4.3 函数最大值、最小值的求法199

习题3.4202

3.5 函数图像的讨论203

3.5.1 函数的凸性与拐点204

3.5.2 曲线的渐近线210

3.5.3 函数的图像212

习题3.5214

3.6 牛顿（Newton）法215

第3章总练习题219

习题3.6219

第4章 不定积分223

4.1 不定积分的概念、基本积分表223

4.1.1 原函数与不定积分223

4.1.2 基本积分表、不定积分的性质225

习题4.1228

4.2 换元积分法与分部积分法228

4.2.1 换元积分法228

4.2.2 分部积分法235

习题4.2238

4.3.1 有理函数的积分241

4.3 有理函数和可化为有理函数的积分241

4.3.2 三角函数有理式的积分246

4.3.3 两类可有理化函数的积分249

习题4.3252

第4章总练习题254

第5章 定积分及其应用257

5.1 定积分的概念257

5.2 可积条件261

5.2.1 可积的必要条件261

5.2.2 可积的必要充分条件263

5.2.3 可积函数类264

习题5.2265

5.3 定积分的性质、积分中值定理266

习题5.3270

5.4 定积分的计算271

5.4.1 微积分学基本定理271

5.4.2 换元积分法与分部积分法273

习题5.4278

5.5 定积分的近似计算280

习题5.5284

5.6 定积分在几何上的应用284

5.6.1 平面图形的面积285

5.6.2 立体体积288

5.6.3 曲线的弧长与曲率290

5.6.4 旋转体的侧面积296

习题5.6297

5.7 定积分在物理上的应用298

5.7.1 功298

5.7.2 液体的压力299

5.7.3 静矩与重心299

5.7.4 转动惯量302

5.7.5 平均值303

习题5.7304

第5章总练习题305

第6章 广义积分309

6.1 无穷区间上函数的广义积分309

6.1.1 基本概念309

6.1.2 基本性质312

6.1.3 收敛性判别法313

6.1.4 计算公式321

6.1.5 柯西主值325

习题6.1326

6.2 无界函数的广义积分327

6.2.1 基本概念327

6.2.3 收敛性判别法329

6.2.2 基本性质329

习题6.2333

第6章总练习题334

第7章 无穷级数337

7.1 数项级数337

7.1.1 基本概念337

7.1.2 收敛级数的性质340

7.1.3 柯西收敛准则343

7.1.4 正项级数的收敛判别法345

7.1.5 任意项级数的收敛判别法353

7.1.6 绝对收敛与条件收敛359

习题7.1367

7.2 函数项级数370

7.2.1 函数项级数的一致收敛370

7.2.2 一致收敛级数的分析性质379

习题7.2385

7.3 幂级数386

7.3.1 幂级数的收敛半径386

7.3.2 收敛半径的求法389

7.3.3 幂级数的分析性质392

习题7.3397

7.4.1 泰勒级数的概念及性质398

7.4 泰勒级数398

7.4.2 初等函数的泰勒展开式402

7.4.3 幂级数的某些应用409

习题7.4413

第7章总练习题414

第8章 傅立叶级数419

8.1 傅立叶级数419

8.1.1 三角函数系的正交性420

8.1.2 以T为周期的函数的傅立叶级数422

8.1.3 傅立叶级数的收敛性425

8.1.4 奇、偶函数的傅立叶级数433

8.1.5 有限区间上的函数的傅立叶级数435

8.1.6 将函数展为正弦级数与余弦级数440

习题8.1445

8.2 复数形式的傅立叶级数447

8.2.1 复数形式的傅氏级数447

8.2.2 频谱分析451

习题8.2455

第8章总练习题456

附录 积分表459

习题答案与提示467