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第一章 概论1

第一节 偏微分方程的基本概念1

一、偏微分方程及其阶1

二、线性、非线性与拟线性方程2

三、偏微分方程的解3

四、二阶线性方程的分类5

五、化二阶线性方程为标准形式7

第二节 三类典型数学物理方程的建立11

一、物理规律与数理方程11

二、建立方程的分析方法11

三、波动方程12

四、热传导方程15

五、位势方程17

第三节 热传导理论的发展及三类热传导方程18

一、热流密度本构关系18

二、三类热传导方程22

第四节 定解条件与定解问题23

一、初始条件23

二、边界条件24

三、定解问题及其分类29

四、定解问题的适定性31

五、列写定解问题举例32

第一节 混合问题解的结构定理及其应用34

第二章 波动方程34

第二节 求解一维混合问题的Fourier方法38

一、第一类边界条件的情况39

二、第二类边界条件的情况44

第三节 一维混合问题的分离变量法45

一、定解问题的分离变量法46

二、用广义Fourier展开法求解定解问题49

表Ⅰ 本征函数表50

三、本征值问题(2)的重要性质52

第四节 定解问题的适定性与广义解53

一、解的存在性54

二、解的唯一性55

三、解的稳定性57

四、广义解58

第五节 二维混合问题61

一、矩形域内的混合问题61

二、圆形域内的混合问题63

第六节 三维混合问题71

一、长方体域内的混合问题71

二、球形域内的混合问题72

第七节 一维Cauchy问题的解法77

一、Fourier积分变换法78

二、特征线法79

三、D'Alembert公式的物理意义80

四、依赖区间、决定区域与影响区域84

五、半无界的问题、延拓法86

第八节 二、三维Cauchy问题的解法89

一、Fourier变换法90

二、用球面平均法导出Poisson公式93

三、降维法95

四、解的物理意义103

第三章 热传导方程107

第一节 混合问题解的结构定理107

第二节 混合问题的解法109

一、一维混合问题110

二、二维混合问题112

三、三维混合问题113

第三节 定解问题的适定性116

一、解的存在性117

二、解的唯一性118

三、解的稳定性119

第四节 一维Cauchy问题，基本解120

一、一维Cauchy问题的解120

二、一维热传导方程的基本解122

三、半无界问题、延拓法125

第五节 扩散现象的几个典型定解问题127

一、一般概念128

二、由恒源扩散问题129

三、瞬时平面源扩散问题130

第六节 二、三维Cauchy问题的重Fourier变换法132

四、杂质从半无限空间向半无限空间扩散问题132

一、二维的情况133

二、三维的情况134

第四章 双曲型热传导方程的混合问题135

第一节 解的结构定理135

第二节 一维混合问题139

一、含第一、三类混合边界条件的情况140

二、含第二、三类混合边界条件的情况143

第三节 二维混合问题146

一、矩形域的情况146

二、圆域的情况154

表Ⅱ Bessel方程本征函数表156

一、长方体域的情况157

第四节 三维混合问题157

二、柱体域的情况160

三、球域的情况162

表Ⅲ 球域上△U+k2U=0的本征函数表163

第五章 双曲型热传导方程的Cauchy问题166

第一节 二阶方程Cauchy问题的Riemann方法166

一、共轭算子与Green公式166

二、Cauchy问题与Riemann函数167

三、例题分析170

第二节 一维问题的Riemann方法和Laplace变换法172

一、Riemann方法173

二、Laplace变换法180

三、解的物理意义分析181

第三节 解的特例验证与参数τ0的物理意义及其测试法184

一、验证u(x，0)=0，ut(x，0)=1时方程之解184

二、验证u(x，0)=1，ut(x，0)=0时方程之解186

三、验证非齐次项f=1时之解188

四、参数τ0的物理意义与测试法188

五、参数τ0的特征线测试法190

六、用Dirac函数点源化的非齐次项测τ0值191

第四节 二维问题的降维法与解的讨论192

一、通过函数变换化为三维波动方程192

二、问题(2)的解193

三、问题(1)的解194

四、验证满足定解条件195

五、特例分析197

第五节 依赖区域、影响区域与τ0的特征锥测试法200

一、依赖区域200

二、影响区域201

三、参数τ0的特征锥测试法202

第六节 经典热传导方程与双曲型热传导方程基本解的比较204

一、两类方程的基本解204

二、两类方程基本解的共同点206

三、两类方程基本解的不同点207

一、二维轴对称问题的Hankel变换法208

第七节 轴对称、球对称问题的解法208

二、球对称问题的球Bessel变换211

三、球对称问题的延拓解法213

四、解(19)的讨论215

第八节 三维Cauchy问题的积分变换法与平均法218

一、关于零阶Bessel函数的一个公式219

二、三维问题的Fourier变换法220

三、用平均法求解问题(6)222

四、对解的几点分析225

第六章 双相滞热传导方程解的结构与解法228

第一节 混合问题解的结构定理228

一、方程的变形及几点说明228

二、解的结构定理230

第二节 一维混合问题的Fourier方法234

一、用Fourier方法求解235

二、按解的结构定理求解240

三、解的存在性242

第三节 一维混合问题的分离变量法245

一、Sturm-Liouville问题的引出245

二、S-L问题的求解246

三、用表Ⅰ解题举例及应注意的问题249

第四节 解的结构定理的改进与应用254

一、一维混合问题255

二、二维混合问题258

三、三维混合问题263

四、简要小结与注意问题267

第五节 圆域上混合问题的解法及解的结构270

一、仅由ψ(r，θ)引起的解270

二、仅由ψ(r，θ)引起的解——结构定理1273

三、仅由源项f(r，θ，t)引起的解——结构定理2275

第六节 圆柱体域上混合问题的解法及解的结构277

一、仅由ψ(r，θ，z)引起的解278

二、仅由ψ(r，θ，z)引起的解——结构定理1281

三、仅由非齐次项引起的解——结构定理2283

四、双相滞热传导方程的Green函数285

第七节 球域上混合问题的解法及解的结构定理287

一、解的基本结构287

二、解的结构定理289

第八节 Cauchy问题解的结构定理与解法293

第七章 位势方程299

第一节 Fourier展开法299

第二节 分离变量法与积分变换法303

第三节 非齐次方程的解法315

一、用函数变换法化成齐次方程求解316

二、利用极值原理求解318

三、应用问题319

表Ⅳ Laplace算子△在不同坐标系下的表示式325

第四节 基本解与调和函数及其性质326

一、基本解326

二、Green公式328

三、调和函数的性质333

第五节 边值问题的适定性339

第六节 Green函数及其性质345

一、Green函数的概念345

二、第一边值问题的Green函数的性质349

第七节 第一边值问题的Green函数解法352

一、用电像法求Green函数的分析方法352

二、Green函数法例题分析353

三、无界区域上的求解公式361

第八节 位势理论368

一、位势的概念368

二、含参变量的广义积分371

三、立体角与Ляпунов曲面375

四、面位势的性质377

第九节 化Laplace方程的边值问题为积分方程380

一、积分方程的某些知识381

二、化边值问题为积分方程382

三、Poisson方程的边值问题385

四、二维位势方程的解法387

附录Ⅰ 特殊函数392

附录Ⅱ 积分变换416

附录Ⅲ 积分变换表446

附录Ⅳ 本征值问题456

附录Ⅴ 科技文献：热传导理论，双曲型和双相滞热传导方程465