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第一章　数学分析的某些应用1

§1　重积分问题1

一　质体的质量与质心1

目录1

二　转动惯量惯量椭球面2

§2　重力向量　重力位5

一 引力与离心力5

二 Mac-Cullagh公式7

三　牛顿球位9

一　引力位的梯度 重力位的法向导数11

§3　梯度　方向导数11

二　垂线偏差向量17

三 主曲率与g的法向导数20

四　格林公式22

§4　重力值的计算23

一　Clairaut公式23

二　三轴椭球体的引力位27

三　Ivory定理33

一　Px（x）的母函数 递推公式38

第二章　特殊函数38

§1　勒让德多项式Px（x）38

二　P？（x）的表达式40

三　一个非齐次微分方程42

四 函数系｛P？（x）｝的正交性44

§2　伴随勒让德函数P？（x）46

一　Pxk（x）的表达式46

二 函数系｛Pxk（x）｝的正交性48

一 球函数及其正交性49

§3　球函数49

二 函数按球函数的展开52

三　球函数加法定理53

§4　带形、扇形及田形的调和项56

一 P？（x）的零点的分布56

二 球函数的符号变化58

三 第二类勒让德函数Q？（x）60

§5　曲线坐标62

一　共焦曲线坐标62

二 曲面坐标（空间曲线坐标）65

三　拉普拉斯算子的曲线坐标表示67

§6　拉梅函数70

一　共焦椭球坐标70

二　拉梅函数74

三　拉梅函数的正交性80

四 第二类拉梅函数83

§7　贝塞耳函数84

一　递推公式　积分表达式84

二 第二类贝塞耳函数89

三 贝塞耳函数的零点94

四 在天体力学中的应用98

§8　留数理论的应用103

一　Px（x）的积分表示103

二 插值多项式Sx（x）103

三 复平面上的Г函数105

第三章　解数学物理方程的傅里叶方法110

§1　波动方程110

一　一维波动方程110

二 定解条件112

三　波的传播113

四　依赖区间 决定域　影响域116

五　解波动方程的傅里叶方法119

§2　拉普拉斯方程122

一 引力位与拉普拉斯方程122

二　位势方程　基本解124

三 圆域的狄氏边值问题128

§3　空间区域的狄氏边值问题131

一　球域的边值问题131

二　旋转椭球域的边值问题134

三　三轴椭球域的边值问题138

四　Somigliana公式　正常重力值140

§4　热传导方程143

一　一个积分的计算143

二 热传导方程基本解144

第四章　椭圆方程　位理论149

§1　三维波动方程149

一　基尔霍夫公式149

二　球面波　柱面波　平面波154

三　衍射理论中的积分定理158

四 波动方程的基本解159

§2　体位与层位161

一 泊松公式161

二 质体引力位的层位表示163

三　格林函数及其性质165

四　极值原理170

§3　司托克斯公式173

一 问题与引理173

二 扰动位的表达式175

三 其它两类边值问题178

§4　层位理论180

一　偶极子180

二　立体角183

三 位势型广义积分理论184

四 层位的Plemelj公式191

第五章　积分方程196

§1　积分方程196

一 积分方程概念196

二　级数解　逐次逼近公式198

三 弗氏算子201

四 解核 解的唯一性204

§2　弗氏定理207

一 弗氏行列式Hadamard不等式207

二 预解式211

三 弗氏定理214

§3　弱奇异积分方程220

一 弱奇异核 若干引理220

二　推广的弗氏定理226

一　初积分　物理摆231

第六章　常微分方程组及其应用231

§1　常微分方程组231

二 n体问题 初积分的力学意义235

三　开卜勒三定律238

四 开卜勒方程　轨道根数243

§2　拉格朗日动位函数245

一　拉格朗日方程245

二　哈密顿正则方程组248

一　拟线性偏微分方程249

§3　一阶偏微分方程249

二　Pfaff方程251

三　微分式为全微分的充要条件255

四　非线性偏微分方程256

§4　哈密顿-雅可比方程260

一　哈密顿方程组的解法260

二　雅可比定理263

三　二体问题的正则共轭常量265

一　微分式的对应方程组270

§5　正则变换270

二 正则变换275

三　括号｛·｝与［·］278

四　摄动运动的基本方程285

第七章　泛函分析初论289

§1　距离空间289

一　映射289

二 距离空间290

三 几个不等式293

一　点集及极限296

§2　空间的可分性296

二 可分空间298

三 完备性和致密集301

§3　线性空间305

一 线性空间概念305

二　范数306

§4　线性算子307

一　有界线性算子307

二　算子空间311

一　内积空间312

§5　希尔伯特空间312

二 正交分解315

三　H上的泛函317

§6　正交系　最佳逼近319

一　施密特方法319

二　最佳逼近321

三　完备正交系322

附录Ⅰ 常用数学符号328

附录Ⅱ 参考书籍和文献328