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第1章 数值线性代数理论基础1

1.1 一些概念和记号1

1.2 几种常用的矩阵分解4

1.2.1 矩阵的特征分解4

1.2.2 矩阵的Schur分解6

1.2.3 矩阵的奇异值分解12

1.2.4 矩阵的极分解和满秩分解16

1.3 向量和矩阵的范数19

1.3.1 向量内积与向量范数19

1.3.2 矩阵范数与内积21

1.4 矩阵的广义逆28

1.5 几种特殊的矩阵类型31

1.6 模型问题：Poisson问题35

习题137

第2章 正交变换和投影方法39

2.1 两种常用的正交变换39

2.1.1 Householder变换39

2.1.2 Givens变换45

2.2 QR分解49

2.2.1 Householder变换QR分解49

2.2.2 Givens变换QR分解53

2.3 线性无关向量组的正交化58

2.3.1 Gram-Schmidt正交化58

2.3.2 Householder正交化61

2.4 Krylov子空间及其正交化64

2.4.1 Krylov子空间64

2.4.2 Arnoldi正交分解66

2.4.3 Lanczos正交分解71

2.5 投影方法73

2.5.1 投影算子及其性质73

2.5.2 投影方法的基本框架76

2.5.3 一维投影方法80

习题283

第3章 线性方程组的矩阵分裂迭代法85

3.1 迭代法的一般理论85

3.1.1 迭代法的定义与分类85

3.1.2 收敛性与收敛速度86

3.1.3 相容性和敏感性分析89

3.1.4 几种常见的矩阵分裂91

3.2 几种经典迭代法93

3.2.1 Richardson迭代法93

3.2.2 Jacobi迭代法94

3.2.3 Gauss-Seidel（GS）迭代法98

3.3 松弛型迭代法102

3.3.1 SOR迭代法102

3.3.2 SSOR迭代法106

3.3.3 AOR迭代法109

3.4 HSS迭代法111

3.4.1 HSS和IHSS方法111

3.4.2 PHSS迭代法119

3.5 迭代法的加速方法124

3.5.1 外推方法124

3.5.2 整体校正方法126

3.5.3 基于矩阵特征值的外推方法130

3.5.4 Chebyshev加速方法132

3.6 块三对角方程组的迭代解法137

3.6.1 PE（α）方法137

3.6.2 二次PE（α）方法141

习题3143

第4章 线性方程组的Krylov子空间迭代法145

4.1 共轭梯度法145

4.1.1 基本CG方法146

4.1.2 收敛性分析152

4.1.3 预处理CG方法157

4.1.4 CGNR方法和CGNE方法159

4.2 广义极小残量法162

4.2.1 GMRES方法162

4.2.2 预处理GMRES方法169

4.2.3 收敛性分析172

4.3 极小残量法181

4.3.1 MINRES方法181

4.3.2 PMINRES方法188

4.3.3 收敛性分析197

4.4 SYMMLQ方法198

4.4.1 SYMMLQ方法198

4.4.2 收敛性分析203

4.5 拟极小残量法206

4.5.1 非对称Lanczos方法207

4.5.2 QMRES方法211

4.6 LSQR方法216

4.6.1 Lanczos双对角化方法217

4.6.2 LSQR算法219

4.7 广义共轭残量法223

4.7.1 GCR方法224

4.7.2 GCR（m）方法230

4.8 投影类方法233

4.8.1 BCG方法233

4.8.2 CGS方法238

4.8.3 BCGSTAB方法241

习题4246

第5章 线性最小二乘问题的数值解法247

5.1 线性最小二乘问题的数学性质247

5.1.1 最小二乘解的特征及一般表示247

5.1.2 线性LS的等价性问题250

5.1.3 线性最小二乘问题的正则化251

5.2 求解满秩最小二乘问题的数值方法253

5.2.1 法方程方法254

5.2.2 QR分解方法254

5.3 求解秩亏最小二乘问题的数值解法256

5.3.1 列主元QR分解法256

5.3.2 奇异值分解法261

5.4 求解最小二乘问题的迭代方法262

5.4.1 基于法方程的矩阵分裂迭代法262

5.4.2 基于法方程的共轭梯度法267

5.4.3 基于KKT方程的SOR类迭代法270

5.4.4 基于KKT方程的HSS迭代法275

习题5279

第6章 解线性方程组的直接法281

6.1 Gauss消去法281

6.1.1 顺序Gauss消去法281

6.1.2 列主元Gauss消去法285

6.2 LU分解法288

6.2.1 顺序LU分解法289

6.2.2 列主元LU分解法291

6.2.3 不完全LU分解295

6.3 对称正定方程组的直接法298

6.3.1 Cholesky分解法299

6.3.2 不完全Cholesky分解301

6.4 带状线性方程组的直接法303

6.4.1 三对角方程组303

6.4.2 块三对角方程组310

6.5 直接法的舍入误差分析315

6.5.1 矩阵的条件数315

6.5.2 矩阵条件数的估算315

6.5.3 舍入误差对解的影响318

习题6319

第7章 矩阵特征值问题的数值方法321

7.1 矩阵的特征值估计和隔离321

7.2 幂法和反幂法326

7.2.1 幂法326

7.2.2 幂法的加速技术329

7.2.3 反幂法330

7.3 Jacobi方法332

7.3.1 实对称矩阵的旋转正交相似变换332

7.3.2 Jacobi方法及其收敛性335

7.4 QR方法338

7.4.1 化一般矩阵为上Hessenberg矩阵339

7.4.2 上Hessenberg矩阵的QR分解344

7.4.3 基本QR方法347

7.4.4 带原点位移的QR方法353

7.4.5 双重步位移隐式QR方法354

7.4.6 特征向量的计算方法361

7.5 Givens-Householder方法366

7.5.1 求对称三对角矩阵特征值的二分法366

7.5.2 二分法的程序实现371

7.5.3 特征向量的计算372

7.6 Krylov子空间方法374

7.6.1 Rayleigh-Ritz投影方法376

7.6.2 Lanczos方法379

7.6.3 Arnoldi方法396

7.6.4 Jacobi-Davidson方法401

习题7405

参考文献408