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第一讲 行列式的计算1

1.1 重要的定理与公式1

1.2 利用行列式的定义计算行列式3

1.3 计算行列式的基本方法4

1.3.1 化三角形法5

1.3.2 降阶法7

1.3.3 递推法11

1.3.4 利用范德蒙德行列式计算15

1.3.5 加边法16

1.3.6 数学归纳法17

1.4 抽象行列式的计算24

习题一25

第二讲 矩阵27

2.1 矩阵乘法及可交换性27

2.1.1 矩阵的乘法27

2.1.2 矩阵乘法的可交换性30

2.2 矩阵的方幂与多项式33

2.3 可逆矩阵41

2.4 矩阵方程48

习题二53

第三讲 分块矩阵的初等变换及其应用56

3.1 分块矩阵的初等变换56

3.2 在逆矩阵中的应用58

3.3 在行列式中的应用60

习题三66

第四讲 矩阵的秩68

4.1 矩阵秩的概念与性质68

4.2 矩阵秩的求法69

4.2.1 初等变换法70

4.2.2 子式法71

4.2.3 用性质或有关结论求秩法72

4.2.4 极大线性无关组法73

4.3 矩阵秩的等式与不等式的证明73

4.4 用线性方程组理论解决矩阵秩的问题81

4.5 矩阵多项式的秩82

习题四84

第五讲 秩为1矩阵的性质及应用87

习题五92

第六讲 线性方程组94

6.1 含参数的线性方程组的解法94

6.2 两个线性方程组同解的判定101

6.3 求两个线性方程组的公共解109

6.4 抽象线性方程组的求解与证明113

习题六118

第七讲 几种重要的特殊矩阵122

7.1 对称矩阵与反对称矩阵122

7.2 正交矩阵127

7.3 幂等矩阵与对合矩阵129

7.4 幂零矩阵134

7.5 循环矩阵139

习题七141

第八讲 矩阵分解143

8.1 矩阵的秩分解143

8.2 矩阵的满秩分解144

8.3 矩阵的LU分解149

8.4 矩阵的QR分解与Cholesky分解151

8.5 矩阵的奇异值分解153

8.6 矩阵的谱分解155

8.7 矩阵的其他分解156

习题八157

第九讲 微小摄动法及其应用158

习题九164

第十讲 矩阵的迹165

习题十169

第十一讲 线性空间与线性变换170

11.1 线性空间170

11.1.1 基本概念与主要定理170

11.1.2 典型例题解析171

11.2 线性变换180

11.2.1 基本概念与重要定理180

11.2.2 典型例题解析183

习题十一193

第十二讲 矩阵的特征值与特征向量195

习题十二204

第十三讲 矩阵的相似与可对角化206

13.1 元素已知矩阵的相似与可对角化的判定和计算208

13.2 抽象矩阵相似与可对角化的判定214

13.3 矩阵可同时对角化217

习题十三220

第十四讲 矩阵的特征多项式及最小多项式222

习题十四229

第十五讲 二次型与正定矩阵231

15.1 二次型的标准形231

15.1.1 基本概念定理与基本方法231

15.1.2 典型例题解析232

15.2 正定二次型与正定矩阵239

15.2.1 基本概念与重要定理239

15.2.2 正定二次型的判定与应用240

习题十五250

第十六讲 欧氏空间252

16.1 欧氏空间概念与性质252

16.1.1 基本概念与重要定理252

16.1.2 典型例题解析254

16.2 正交变换与对称变换257

16.2.1 基本概念与主要定理257

16.2.2 典型例题解析258

习题十六265

第十七讲 酉矩阵、埃尔米特矩阵与正规矩阵266

习题十七271

第十八讲 中国剩余定理及其应用272

习题十八276

附录A 符号与约定278

参考文献280