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第1章 矩阵代数基础1

1.1 矩阵的基本运算1

1.1.1 矩阵与向量1

1.1.2 矩阵的基本运算4

1.1.3 向量的线性无关性与非奇异矩阵8

1.2 矩阵的初等变换9

1.2.1 初等行变换与阶梯型矩阵9

1.2.2 初等行变换的两个应用11

1.2.3 初等列变换14

1.3 向量空间、线性映射与Hilbert空间15

1.3.1 集合的基本概念16

1.3.2 向量空间17

1.3.3 线性映射20

1.3.4 内积空间、赋范空间与Hilbert空间23

1.4 内积与范数26

1.4.1 向量的内积与范数26

1.4.2 向量的相似比较30

1.4.3 矩阵的内积与范数32

1.5 随机向量36

1.5.1 概率密度函数36

1.5.2 随机向量的统计描述38

1.5.3 高斯随机向量41

1.6 矩阵的性能指标43

1.6.1 矩阵的二次型44

1.6.2 行列式45

1.6.3 矩阵的特征值47

1.6.4 矩阵的迹49

1.6.5 矩阵的秩51

1.7 逆矩阵与伪逆矩阵54

1.7.1 逆矩阵的定义与性质54

1.7.2 矩阵求逆引理56

1.7.3 左逆矩阵与右逆矩阵59

1.8 Moore-Penrose逆矩阵61

1.8.1 Moore-Penrose逆矩阵的定义与性质61

1.8.2 Moore-Penrose逆矩阵的计算64

1.8.3 非一致方程的最小范数最小二乘解67

1.9 矩阵的直和与Hadamard积67

1.9.1 矩阵的直和67

1.9.2 Hadamard积68

1.10 Kronecker积与Khatri-Rao积71

1.10.1 Kronecker积及其性质71

1.10.2 广义Kronecner积73

1.10.3 Khatri-Rao积74

1.11 向量化与矩阵化74

1.11.1 矩阵的向量化与向量的矩阵化74

1.11.2 向量化算子的性质77

1.12 稀疏表示与压缩感知78

1.12.1 稀疏向量与稀疏表示78

1.12.2 人脸识别的稀疏表示80

1.12.3 稀疏编码81

1.12.4 压缩感知的稀疏表示82

本章小结86

习题86

第2章 特殊矩阵101

2.1 Hermitian矩阵101

2.2 置换矩阵、互换矩阵与选择矩阵103

2.2.1 置换矩阵与互换矩阵103

2.2.2 广义置换矩阵与选择矩阵106

2.3 正交矩阵与酉矩阵109

2.4 带型矩阵与三角矩阵112

2.4.1 带型矩阵112

2.4.2 三角矩阵113

2.5 求和向量与中心化矩阵115

2.5.1 求和向量115

2.5.2 中心化矩阵116

2.6 相似矩阵与相合矩阵117

2.6.1 相似矩阵117

2.6.2 相合矩阵119

2.7 Vandermonde矩阵120

2.8 Fourier矩阵123

2.8.1 Fourier矩阵的定义与性质123

2.8.2 适定方程计算的初等行变换方法124

2.8.3 FFT算法的推导126

2.9 Hadamard矩阵129

2.10 Toeplitz矩阵132

2.10.1 对称Toeplitz矩阵132

2.10.2 Toeplitz矩阵的离散余弦变换134

2.11 Hankel矩阵136

本章小结138

习题138

第3章 矩阵微分143

3.1 Jacobian矩阵与梯度矩阵143

3.1.1 Jacobian矩阵144

3.1.2 梯度矩阵145

3.1.3 偏导和梯度计算147

3.2 一阶实矩阵微分与Jacobian矩阵辨识152

3.2.1 一阶实矩阵微分152

3.2.2 标量函数的Jacobian矩阵辨识153

3.2.3 实值矩阵函数的Jacobian矩阵辨识161

3.3 二阶实矩阵微分与Hessian矩阵辨识164

3.3.1 Hessian矩阵164

3.3.2 Hessian矩阵的辨识原理165

3.3.3 Hessian矩阵的辨识方法168

3.4 共轭梯度与复Hessian矩阵170

3.4.1 全纯函数与复变函数的偏导170

3.4.2 复矩阵微分174

3.4.3 复Hessian矩阵179

3.5 复梯度矩阵与复Hessian矩阵的辨识182

3.5.1 实标量函数的复梯度矩阵辨识182

3.5.2 矩阵函数的复梯度矩阵辨识184

3.5.3 复Hessian矩阵辨识187

本章小结189

习题189

第4章 梯度分析与最优化193

4.1 实变函数无约束优化的梯度分析193

4.1.1 单变量函数f（x）的平稳点与极值点194

4.1.2 多变量函数f（x）的平稳点与极值点196

4.1.3 多变量函数f（X）的平稳点与极值点198

4.1.4 实变函数的梯度分析200

4.2 复变函数无约束优化的梯度分析202

4.2.1 多变量复变函数f（z,z＊）的平稳点与极值点202

4.2.2 多变量复变函数f（Z,Z＊）的平稳点与极值点204

4.2.3 无约束最小化问题的梯度分析206

4.3 凸优化理论209

4.3.1 标准约束优化问题209

4.3.2 凸集与凸函数211

4.3.3 凸函数辨识的充分必要条件214

4.3.4 凸优化方法及其梯度分析216

4.4 平滑凸优化的一阶算法222

4.4.1 梯度法与梯度投影法222

4.4.2 共轭梯度算法227

4.4.3 收敛速率231

4.4.4 Nesterov最优梯度法232

4.5 非平滑凸优化的次梯度法240

4.5.1 次梯度与次微分240

4.5.2 迫近函数243

4.5.3 共轭函数244

4.5.4 原始-对偶次梯度算法246

4.5.5 投影次梯度法248

4.6 非平滑凸函数的平滑凸优化249

4.6.1 非平滑函数的平滑逼近249

4.6.2 迫近梯度法252

4.7 约束优化算法256

4.7.1 Lagrangian乘子法与对偶上升法256

4.7.2 罚函数法257

4.7.3 增广Lagrangian乘子法261

4.7.4 交替方向乘子法263

4.8 Newton法266

4.8.1 无约束优化的Newton法266

4.8.2 无约束优化的复Newton法268

4.8.3 等式约束优化的Newton法269

4.8.4 等式约束优化的复Newton法272

4.9 原始-对偶内点法274

4.9.1 非线性优化的原始-对偶问题274

4.9.2 一阶原始-对偶内点法275

4.9.3 二阶原始-对偶内点法277

本章小结280

习题280

第5章 奇异值分析285

5.1 数值稳定性与条件数285

5.2 奇异值分解288

5.2.1 奇异值分解及其解释288

5.2.2 奇异值的性质292

5.2.3 秩亏缺最小二乘解296

5.3 乘积奇异值分解298

5.3.1 乘积奇异值分解问题298

5.3.2 乘积奇异值分解的精确计算299

5.4 奇异值分解的应用301

5.4.1 静态系统的奇异值分解301

5.4.2 图像压缩304

5.5 广义奇异值分解304

5.5.1 广义奇异值分解的定义与性质304

5.5.2 广义奇异值分解的实际算法307

5.5.3 高阶广义奇异值分解310

5.5.4 应用312

5.6 矩阵完备313

5.6.1 矩阵恢复与矩阵分解313

5.6.2 矩阵完备及其可辨识性315

5.6.3 矩阵完备的奇异值阈值化法319

本章小结323

习题323

第6章 矩阵方程求解325

6.1 最小二乘方法325

6.1.1 普通最小二乘325

6.1.2 Gauss-Markov定理327

6.1.3 普通最小二乘解与最大似然解的等价性329

6.1.4 数据最小二乘329

6.2 Tikhonov正则化与正则Gauss-Seidel法330

6.2.1 Tikhonov正则化330

6.2.2 正则Gauss-Seidel法332

6.3 总体最小二乘336

6.3.1 总体最小二乘问题336

6.3.2 总体最小二乘解337

6.3.3 总体最小二乘解的性能341

6.3.4 总体最小二乘拟合344

6.4 约束总体最小二乘348

6.4.1 约束总体最小二乘方法348

6.4.2 超分辨谐波恢复350

6.4.3 正则化约束总体最小二乘图像恢复351

6.5 盲矩阵方程求解的子空间方法353

6.6 非负矩阵分解的优化理论355

6.6.1 非负性约束与稀疏性约束355

6.6.2 非负矩阵分解的数学模型及解释356

6.6.3 散度与变形对数360

6.7 非负矩阵分解算法364

6.7.1 非负矩阵分解的乘法算法364

6.7.2 投影梯度法和Nesterov最优梯度法369

6.7.3 交替非负最小二乘算法371

6.7.4 拟牛顿法与多层分解法373

6.7.5 稀疏非负矩阵分解374

6.8 稀疏矩阵方程求解：优化理论377

6.8.1 L1范数最小化377

6.8.2 RIP条件379

6.8.3 与Tikhonov正则化最小二乘的关系381

6.8.4 L1范数最小化的梯度分析382

6.9 稀疏矩阵方程求解：优化算法384

6.9.1 正交匹配追踪法384

6.9.2 LASSO算法与LARS算法386

6.9.3 同伦算法389

6.9.4 Bregman迭代算法390

本章小结395

习题396

第7章 特征分析399

7.1 特征值问题与特征方程399

7.1.1 特征值问题399

7.1.2 特征多项式401

7.2 特征值与特征向量402

7.2.1 特征值402

7.2.2 特征向量403

7.2.3 与其他矩阵函数的关系405

7.2.4 特征值和特征向量的性质408

7.2.5 矩阵的可对角化定理413

7.3 Cayley-Hamilton定理及其应用415

7.3.1 Cayley-Hamilton定理415

7.3.2 逆矩阵和广义逆矩阵的计算417

7.3.3 矩阵幂的计算418

7.3.4 矩阵指数函数的计算420

7.4 特征值分解的几种典型应用423

7.4.1 标准正交变换与迷向圆变换423

7.4.2 Pisarenko谐波分解426

7.4.3 离散Karhunen-Loeve变换428

7.4.4 主分量分析430

7.5 广义特征值分解432

7.5.1 广义特征值分解及其性质433

7.5.2 广义特征值分解算法435

7.5.3 广义特征值分解的总体最小二乘方法436

7.5.4 应用举例——ESPRIT方法437

7.5.5 相似变换在广义特征值分解中的应用440

7.6 Ruyleigh商442

7.6.1 Rayleigh商的定义及性质443

7.6.2 Rayleigh商迭代444

7.6.3 Rayleigh商问题求解的共轭梯度算法445

7.7 广义Rayleigh商447

7.7.1 广义Rayleigh商的定义及性质447

7.7.2 应用举例1：类鉴别有效性的评估449

7.7.3 应用举例2：干扰抑制的鲁棒波束形成450

7.8 二次特征值问题452

7.8.1 二次特征值问题的描述452

7.8.2 二次特征值问题求解454

7.8.3 应用举例458

7.9 联合对角化462

7.9.1 联合对角化问题462

7.9.2 正交近似联合对角化464

7.9.3 非正交近似联合对角化466

7.10 Fourier分析与特征分析467

7.10.1 周期函数的Fourier分析467

7.10.2 非周期函数的特征分析469

本章小结474

习题474

第8章 子空间分析与跟踪483

8.1 子空间的一般理论483

8.1.1 子空间的基483

8.1.2 无交连、正交与正交补485

8.1.3 子空间的正交投影与夹角488

8.1.4 主角与补角490

8.1.5 子空间的旋转491

8.2 列空间、行空间与零空间492

8.2.1 矩阵的列空间、行空间与零空间492

8.2.2 子空间的基构造：初等变换法495

8.2.3 基本空间的标准正交基构造：奇异值分解法498

8.2.4 构造两个零空间交的标准正交基501

8.3 子空间方法502

8.3.1 信号子空间与噪声子空间503

8.3.2 子空间方法应用1：多重信号分类（MUSIC）505

8.3.3 子空间方法应用2：子空间白化507

8.4 Grassmann流形与Stiefel流形508

8.4.1 不变子空间508

8.4.2 Grassmann流形509

8.4.3 Stiefel流形510

8.5 投影逼近子空间跟踪513

8.5.1 投影逼近子空间跟踪的基本理论513

8.5.2 投影逼近子空间跟踪算法516

8.6 快速子空间分解517

8.6.1 Rayleigh-Ritz逼近518

8.6.2 快速子空间分解算法519

本章小结522

习题522

第9章 投影分析527

9.1 投影与正交投影527

9.1.1 投影定理528

9.1.2 均方估计529

9.2 投影矩阵与正交投影矩阵531

9.2.1 幂等矩阵531

9.2.2 投影算子与正交投影算子533

9.2.3 到列空间的投影矩阵与正交投影矩阵535

9.2.4 投影矩阵的导数537

9.3 投影矩阵与正交投影矩阵的应用举例538

9.3.1 投影梯度538

9.3.2 预测滤波器的表示540

9.4 投影矩阵和正交投影矩阵的更新544

9.5 满列秩矩阵的斜投影算子545

9.5.1 斜投影算子的定义及性质546

9.5.2 斜投影算子的几何解释550

9.5.3 斜投影算子的递推552

9.6 满行秩矩阵的斜投影算子553

9.6.1 满行秩矩阵的斜投影算子定义553

9.6.2 斜投影的计算555

9.6.3 斜投影算子的应用557

本章小结558

习题558

第10章 张量分析563

10.1 张量及其表示563

10.2 张量的矩阵化与向量化569

10.2.1 张量的水平展开与向量化569

10.2.2 张量的纵向展开573

10.3 张量的基本代数运算577

10.3.1 张量的内积、范数与外积577

10.3.2 张量的n-模式积579

10.3.3 张量的秩583

10.4 张量的Tucker分解585

10.4.1 Tucker分解（高阶奇异值分解）585

10.4.2 三阶奇异值分解588

10.4.3 高阶奇异值分解的交替最小二乘算法592

10.5 张量的平行因子分解596

10.5.1 双线性模型596

10.5.2 平行因子分析598

10.5.3 CP分解的唯一性条件604

10.5.4 CP分解的交替最小二乘算法606

10.6 多路数据分析的预处理与后处理610

10.6.1 多路数据的中心化与比例化610

10.6.2 正则化与数据阵列的压缩611

10.7 非负张量分解613

10.7.1 非负张量分解的乘法算法614

10.7.2 非负张量分解的交替最小二乘算法617

本章小结619

习题619

参考文献621

索引648