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第一章 绪论1

1.1 从应用数学及其“二难”处境谈起1

一、数学按其纯粹性的分布图1

二、应用数学的“二难”处境3

1.2 问题解决途径与数学应用全过程谈6

一、实践中问题解决途径宏观考6

二、数学应用全过程鸟瞰8

1.3 关于数学建模一些认识问题10

一、数学模型与数学建模10

二、几个有待澄清的认识问题12

三、数学建模肩负的两大层次任务14

1.4 一点思想准备16

一、关于“思考”的思考16

二、来自“调查研究”的启示18

第二章 定性分析与定量分析辨20

2.1 关于定性分析20

一、定性分析与哲学思辨20

二、哲学思辨的优缺点辨21

三、定性分析可以独立解决实际问题23

2.2 定量分析24

一、量与量化24

二、为何需要定量分析24

三、定量分析依赖建模26

四、建模中的定性分析26

2.3 建模中定性分析与定量分析比较关系27

第三章 模型通论29

3.1 模型思辨29

一、模型小议29

二、数学模型30

三、模型是漫画不是照相31

3.2 “模型论”及其“模型”特征简顾32

一、谈点数理逻辑史32

二、“模型论”简说33

三、“模型论”模型一例：非标准分析模型35

3.3 “模型论”与应用数学模型比较特征37

第四章 数学模型的实质39

4.1 数学模型的度量实质39

一、度量概述39

二、模型的度量实质与度量类型42

4.2 数学模型的映射实质44

4.3 模型的空间转换实质49

一、空间意识的突破及其类型简述49

二、系统空间及其特征52

三、数学空间类型及其相应Rs的特征54

四、数学模型的空间转换实质及其评述56

4.4 数学模型与同构原理58

一、从同构及有关概念谈起58

二、数学模型的同构原则59

三、为何同构原则实现难60

第五章 数学模型非唯一性原理与近似性原理62

5.1 关于模型的唯一性62

一、关于客观系统的确定性与唯一性62

二、关于数学系统的确定性与唯一性问题63

三、模型对于客观系统总是非唯一的65

5.2 非唯一的模型及其空间65

一、几何点及其邻域“势”65

二、一个客观系统Rs可能的数学模型66

三、模型的空间Ω及其讨论68

四、Ω进一步研究的问题70

5.3 模型的近似性及其原理71

一、空间门槛与度量悖论71

二、模型的客观比较标准73

三、模型优劣判定中的近似原理：满意度与鲁棒性75

5.4 模型非唯一与近似性原理是建模者的福音76

一、对于同一Rs可从多个角度建模76

二、建模者尽可扬己之长去创造77

三、社会系统建模精确性并非唯一要求77

5.5 再论优秀模型及其调试过程78

一、关于优秀模型概念78

二、适用型优秀模型78

三、适用型优秀模型的获取79

第六章 建模与公理化论81

6.1 数学中公理化史小谈81

一、有关概念81

二、第一次数学危机催产了公理化方法82

三、几何学发展史的公理化道路83

四、现代数学的公理化特征与公理学84

6.2 公理的思辨88

一、公理的哲学本原88

二、人类生活的一半在公理世界90

三、无意识公理对思维突破的障碍91

6.3 科学与实践中的公理化思想92

一、公理化思想渐成时代特征和方法论92

二、谈谈辩论中的公理问题93

三、建模中“技术同构”思想与公理化94

四、再谈建模公理化与严格性95

6.4 建模过程中用到的公理类型95

一、符号约定类公理95

二、定义类公理及一个附录96

三、假设、猜测类公理98

四、法则、定律类公理99

第七章 数学建模基本过程论100

7.1 从课题的团队分工谈起100

一、项目、课题与习题100

二、课题团队分工特征认识100

7.2 阶段Ⅰ：系统理解101

一、注意两大区别102

二、定量分析中的定性分析容易产生的误区103

7.3 阶段Ⅱ：模型类型的抉择104

一、三种问题类型104

二、一个课题中往往不止一个模型106

三、根据自己的特长建模107

7.4 阶段Ⅲ：建模准备与广义公理化108

7.5 阶段Ⅳ：模型构建112

一、具体建模基本过程113

二、建模过程中一些注意事项115

7.6 建模各阶段纵观图及一例示116

一、纵观图116

二、一个安全问题建模例116

三、市场中一类竞争模型建模例118

第八章 数学模型的系统学认识120

8.1 系统学有关知识准备120

一、关于系统的概念120

二、数学对偶空间与系统二象论122

三、完全系统及其客观存在性认识125

8.2 数学模型的系统学认识127

一、y=F（x,a）再认识127

二、建模中参数的体现特征128

三、同一对象非唯一模型中参数显示出的灵活性及其意义130

四、建模中关于参数的研讨类型130

8.3 模型系统的几种表达形式134

一、结构式型134

二、约束式型：方程式与隐函数134

三、动态式型136

四、其他类型及其讨论141

第九章 数学模型精确性论143

9.1 关于精确性概念143

一、精确性的相对性143

二、影响精确性的误差种类145

三、精确性的检验与判定145

9.2 促进模型精确性的因素分析148

一、公理化赋予模型的精确性148

二、“二象”论下的建模精确认识149

三、模型因简化而“失真”可在参数确定中得到一定的弥补150

四、社科类模型特有的精确性要求151

9.3 妨碍模型精确性的因素分析151

一、来自“优秀模型”条件的要求151

二、公理化难以“完备”所产生的困难152

三、模型参数“度量”手段造成的非精确性153

四、建模映射中多层转换造成的非精确性153

五、模型结构的选取对精确性的影响154

第十章 数据科学与建模论155

10.1 随机性数据及其模型类型：统计学155

一、随机性数据与统计学155

二、统计学两个基本原理156

三、数据集的两类分布及其分析157

10.2 非随机性数据及其模型类：数据模拟学160

一、数据模拟160

二、有限数据集下：模拟160

三、无穷数据下：逼近161

10.3 时序数据及其模型类：时序过程分析163

一、确定型时序数据164

二、随机型时序数据Ⅰ：时序分析164

三、随机型时序数据Ⅱ：随机过程论165

10.4 适时度量数据类：评价与辨识166

一、评价类问题166

二、控制类系统模型168

10.5 二象度量法：一个评价度量方法169

一、问题的引入169

二、系统的“二象”层次结构表示及其主要特征170

三、“二象”的识别与度量172

四、“二象”树的权重度量173

五、小结176

10.6 呼吁“数据科学”的诞生176

第十一章 数学建模类型论178

11.1 模型总空间论178

一、客观系统Rs的模型邻域空间178

二、Rs的邻域系统及其模型邻域空间179

三、模型总空间及其基本性质179

11.2 模型总空间复杂性机理及约简性原理182

一、有独立创造即有复杂性182

二、模型的约简性原理183

三、逼近原理和建模准则183

11.3 计量模型与数理模型相对性分析及其他184

一、计量模型与数理模型辩证关系184

二、数学与哲学——科学研究的“二难两岸”辨185

11.4 连续模型与离散模型区别与联系实质187

一、一般函数：连续到离散易，反之则难，原理解释187

二、动力系统：连续到离散不需条件，反之不然，原理解释189

三、间断函数模型190

11.5 关于模型类型的划分192

一、小序192

二、数学模型一种分类192

三、几个特殊类型例195

第十二章 几个基本模型类及其建模法200

12.1 几种现代建模基本手段200

一、计算机与计算方法类200

二、数据科学、数据社会与数据技术201

三、统计学202

12.2 系统学建模法204

12.3 展式建模法205

12.4 微分建模法与微分模型类209

一、微分建模法209

二、动力系统建模法210

12.5 L－模型：一类基本而重要的动力系统模型212

一、一般简介212

二、L－模型的应用214

三、L－模型认识：生命曲线论217

四、L－方程的推广；多元情形218

12.6 “二象”对偶模型类220

一、多目标决策问题：复合对偶关系220

二、二象“均衡”建模法及其应用221

三、对偶“二象”与权重“二象”模型类223

四、概率“二象”情形223

12.7 几个常用初等函数类型简例224

一、几类基本函数及其图形类型224

二、图形的一种四则运算：分解作图法226

三、“实质性隐函数”一类作图法228

四、关于多项式判根229