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第1章 基础理论知识1

1.1 常微分方程模型与求解1

1.2 矢量微分算子与拉普拉斯算子10

1.2.1 矢量微分算子？10

1.2.2 拉普拉斯算子？215

第2章 傅里叶级数20

2.1 周期函数的傅里叶级数20

2.2 半幅傅里叶级数26

2.3 傅里叶积分29

第3章 傅里叶变换35

3.1 傅里叶变换简介35

3.1.1 傅里叶变换的定义35

3.1.2 傅里叶变换的性质38

3.2 δ函数42

3.2.1 δ函数的定义和含义42

3.2.2 δ函数的性质43

3.2.3 δ函数的辅助函数47

3.2.4 狄利克雷定理的证明52

3.3 典型函数的傅里叶变换54

3.4 傅里叶变换应用举例70

第4章 拉普拉斯变换78

4.1 拉普拉斯变换简介78

4.1.1 拉普拉斯变换的定义78

4.1.2 拉普拉斯变换的性质80

4.2 典型函数的拉普拉斯变换84

4.3 拉普拉斯变换应用举例89

第5章 基本数学物理方程的建立98

5.1 波动方程98

5.1.1 弦振动问题98

5.1.2 强迫振动与阻尼振动100

5.1.3 高频传输线问题102

5.2 热传导方程104

5.3 拉普拉斯方程107

5.4 二阶偏微分方程110

5.4.1 分类与标准形式110

5.4.2 常系数方程116

5.5 定解问题120

5.5.1 一个例子120

5.5.2 泛定方程与叠加原理120

5.5.3 初始条件与边界条件123

5.5.4 几个典型的定解问题125

第6章 分离变量法132

6.1 弦振动问题132

6.1.1 弦振动问题的求解132

6.1.2 解的物理意义及驻波条件137

6.2 基本定解问题140

6.3 二维泛定方程的定解问题155

6.3.1 二维波动方程155

6.3.2 二维热传导方程160

6.4 第三类边界条件下的定解问题162

6.4.1 本征函数的正交性162

6.4.2 热辐射定解问题163

第7章 分离变量法的应用175

7.1 热吸收定解问题175

7.1.1 吸收-耗散系统175

7.1.2 吸收-绝热系统184

7.2 综合热传导定解问题190

7.2.1 对称边界条件190

7.2.2 反对称边界条件198

7.3 拉普拉斯方程的求解208

7.3.1 直角坐标系的拉普拉斯方程208

7.3.2 极坐标系的拉普拉斯方程216

第8章 本征函数法224

8.1 本征函数法的引入224

8.2 非齐次方程的解法227

8.2.1 一分为二法227

8.2.2 合二为一法230

8.3 有源热传导定解问题236

8.3.1 绝热系统236

8.3.2 绝热-耗散系统240

8.3.3 绝热-辐射系统242

8.3.4 吸收-耗散系统244

8.4 泊松方程的定解问题247

8.5 非齐次边界条件的处理252

8.6 综合定解问题的求解256

第9章 施图姆-刘维尔理论及应用266

9.1 施图姆-刘维尔本征值问题266

9.2 施图姆-刘维尔理论的应用：吊摆问题271

9.3 厄米算符本征函数的正交性275

第10章 行波法278

10.1 一维波动方程的通解278

10.2 一维波动方程的达朗贝尔公式281

10.2.1 达朗贝尔公式的推导281

10.2.2 达朗贝尔公式的讨论284

10.3 双曲型方程的定解问题286

10.4 一阶线性偏微分方程的特征线法289

10.5 非齐次波动方程：齐次化原理291

10.6 三维波动方程296

10.6.1 三维波动方程的球对称解297

10.6.2 三维波动方程的泊松公式297

10.6.3 泊松公式的物理意义300

10.7 旁轴波动方程：格林算子法303

10.7.1 旁轴波动方程的解303

10.7.2 光学元件与光学系统的格林算子306

10.7.3 格林算子法的应用307

10.8 非线性波动方程：光学孤立子309

第11章 积分变换法311

11.1 傅里叶变换法311

11.1.1 热传导问题与高斯核312

11.1.2 傅里叶变换法的应用315

11.2 拉普拉斯变换法324

11.3 联合变换法334

11.3.1 对流热传导问题334

11.3.2 线性衰变的影响336

11.3.3 有源热传导问题338

11.3.4 非齐次波动方程问题342

11.3.5 无边界电报方程问题345

11.4 半导体载流子的输运方程346

第12章 格林函数法349

12.1 无界域的格林函数349

12.2 三维波动方程问题353

12.3 一维有界热传导问题358

12.4 格林公式362

12.4.1 格林定理362

12.4.2 散度定理364

12.4.3 格林公式366

12.5 拉普拉斯方程和泊松方程367

12.5.1 拉普拉斯方程的基本解367

12.5.2 泊松方程的基本积分公式368

12.5.3 泊松方程的边值问题370

12.6 格林函数法的应用：电像法376

12.7 第二、第三类边值问题的格林函数387

12.7.1 第二类边值问题的格林函数387

12.7.2 第三类边值问题的格林函数389

12.8 非线性问题的格林函数解法392

第13章 贝塞尔函数395

13.1 几个微分方程的引入395

13.2 伽马函数的基本知识398

13.3 贝塞尔方程的求解401

13.3.1 贝塞尔方程的广义幂级数解401

13.3.2 第一类贝塞尔函数402

13.3.3 贝塞尔方程的通解404

13.4 贝塞尔函数的基本性质408

13.4.1 生成函数408

13.4.2 递推公式409

13.4.3 积分表示415

13.4.4 渐近公式419

13.5 贝塞尔函数的正交完备性420

13.5.1 正交函数集的构造420

13.5.2 参数形式的贝塞尔函数422

13.5.3 贝塞尔函数的正交性424

13.5.4 贝塞尔函数的完备性427

13.6 贝塞尔函数应用举例431

13.7 球贝塞尔函数437

第14章 勒让德多项式440

14.1 勒让德方程的引入440

14.2 勒让德多项式441

14.3 勒让德多项式的基本性质449

14.3.1 微分表示449

14.3.2 积分表示450

14.3.3 生成函数451

14.3.4 递推公式455

14.3.5 例题459

14.4 勒让德多项式的正交完备性466

14.4.1 正交性466

14.4.2 模值467

14.4.3 完备性469

14.4.4 例题470

14.5 勒让德多项式应用举例480

第15章 量子力学薛定谔方程485

15.1 薛定谔方程的一般解485

15.2 角向解：球谐函数488

15.2.1 中心力场488

15.2.2 连带勒让德函数490

15.2.3 连带勒让德函数的性质492

15.2.4 球谐函数495

15.2.5 球谐函数的性质497

15.3 径向解：广义拉盖尔多项式499

15.3.1 库仑场中的束缚态499

15.3.2 广义拉盖尔多项式504

15.3.3 径向概率密度507

15.4 量子谐振子与厄米多项式514

15.4.1 量子谐振子514

15.4.2 厄米多项式523

15.4.3 系统的含时解528

15.4.4 概率密度529

索引534