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引言1

第1章 一阶标量拟线性方程5

1.1引言5

1.2 Cauchy数据6

1.3特征线8

1.3.1线性方程和半线性方程10

1.4定义域和破裂12

1.5拟线性方程13

1.6间断解17

1.7弱解20

1.8多自变量23

1.9附录25

习题26

第2章 一阶拟线性方程组32

2.1动机与模型32

2.2 Cauchy数据和特征线37

2.3 Cauchy-Kowalevskaja定理40

2.4双曲性43

2.4.1 2 × 2方程组44

2.4.2n维方程组45

2.4.3例子47

2.5弱解和激波50

2.5.1因果律51

2.5.2黏性和熵55

2.5.3其他不连续性56

2.6具有多于两个自变量的方程组57

习题62

第3章 二阶标量方程引论70

3.1绪论70

3.2半线性方程的Cauchy问题72

3.3特征线73

3.4半线性方程的标准型76

3.4.1双曲型方程76

3.4.2椭圆型方程78

3.4.3抛物型方程79

3.5一些一般注记80

习题82

第4章 双曲型方程86

4.1引言86

4.2线性方程：Cauchy问题的解87

4.2.1 Riemann函数的特定求法88

4.2.2 Riemann函数的基本原理89

4.2.3 Riemann函数表达式的含义93

4.3无Cauchy数据的波动方程95

4.3.1强间断的边界数据96

4.4变换和特征函数展开98

4.5对波动方程的应用104

4.5.1一维空间的波动方程105

4.5.2圆和球对称性107

4.5.3电报方程109

4.5.4周期介质中的波110

4.5.5一般注记111

4.6多于两个自变量的波动方程111

4.6.1降维法和Huygens原理112

4.6.2双曲性和类时性116

4.7高阶方程组118

4.7.1线性弹性力学119

4.7.2 Maxwell电磁波方程组121

4.8非线性性124

4.8.1简单波124

4.8.2速度图方法126

4.8.3 Liouville方程128

4.8.4另一种方法129

习题130

第5章 椭圆型方程139

5.1模型139

5.1.1万有引力139

5.1.2电磁场140

5.1.3热传导141

5.1.4力学143

5.1.5声学147

5.1.6机翼理论与断裂148

5.2适定的边界数据150

5.2.1 Laplace方程和Poisson方程150

5.2.2更一般的椭圆型方程153

5.3最大值原理153

5.4变分原理154

5.5 Green函数155

5.5.1经典函数公式155

5.5.2广义函数公式157

5.6 Green函数的显式表达式160

5.6.1 Laplace方程与Poisson方程160

5.6.2 Helmholtz方程166

5.6.3修正Helmholtz方程168

5.7 Green函数，特征函数展开与变换168

5.7.1特征值与特征函数168

5.7.2 Green函数与变换169

5.8椭圆型方程的变换解171

5.8.1柱坐标对称下的Laplace方程：Hankel变换172

5.8.2楔形几何形状内的Laplace方程；Mellin变换174

5.8.3 Helmholtz方程176

5.8.4高阶问题178

5.9复变量方法180

5.9.1共形映射181

5.9.2 Riemann-Hilbert问题183

5.9.3混合边值问题和奇异积分方程189

5.9.4 Wiener-Hopf方法190

5.9.5奇异性和指标193

5.10局部化边界数据194

5.11非线性问题195

5.11.1非线性模型196

5.11.2存在性和唯一性197

5.11.3独立参数和奇异行为199

5.12再论Liouville方程205

5.13后记：？2或者-△？206

习题206

第6章 抛物型方程224

前言224

6.1扩散过程的线性模型224

6.1.1热量和质量的传递224

6.1.2概率与金融225

6.1.3电磁学227

6.1.4一般注记228

6.2初-边值条件228

6.3极值原理和适定性230

6.3.1强极值原理231

6.4 Green函数和热传导方程的变换方法232

6.4.1 Green函数：一般注记232

6.4.2无边界热传导方程的Green函数234

6.4.3边值问题237

6.4.4对流-扩散问题242

6.5相似解和群244

6.5.1常微分方程247

6.5.2偏微分方程247

6.5.3一般注记251

6.6非线性方程253

66.1模型253

6.6.2理论注记256

6.6.3相似解与行波257

6.6.4比较方法与极值原理262

6.6.5破裂264

6.7高阶方程和方程组267

6.7.1高阶标量问题267

6.7.2高阶方程组269

习题271

第7章 自由边值问题285

7.1引言与模型285

7.1.1 Stefan问题及相关问题285

7.1.2扩散中的其他自由边值问题290

7.1.3力学中的某些自由边值问题293

7.2稳定性和适定性296

7.2.1表面重力波298

7.2.2涡片299

7.2.3 Hele-Shaw流300

7.2.4激波302

7.3经典解304

73.1比较方法304

7.3.2能量方程与守恒量305

7.3.3 Green函数方法与积分方程306

7.4弱解和变分方法307

7.4.1变分方法308

7.4.2焓方法312

7.5显式解315

7.5.1相似解315

7.5.2复变量方法317

7.6正则化321

7.7后记322

习题324

第8章 非拟线性方程334

8.1引言334

8.2一阶标量方程335

8.2.1两个自变量335

8.2.2更多自变量的情形340

8.2.3短时距方程341

8.2.4特征值问题347

8.2.5色散349

8.2.6次特征350

8.3 Hamilton-Jacobi方程和量子力学351

8.4高阶方程353

习题356

第9章 杂记366

9.1引言366

9.2线性方程组重提368

9.2.1线性方程组：Green函数368

9.2.2 线性弹性371

9.2.3线性无黏水动力学373

9.2.4波传播的放射条件376

9.3复特征和分类377

9.4有一个实特征的拟线性组379

9.4.1具有电阻发热的热传导379

9.4.2空间电荷380

9.4.3流体动力学：Navier-Stokes方程381

9.4.4无黏流：Euler方程381

9.4.5黏性流384

9.5介质之间的相互作用385

9.5.1流体／固体声学相互作用385

9.5.2流体／流体重力波相互作用386

9.6规范与不变性387

9.7孤立子388

习题397

结语405

参考文献407

索引409