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第1章　非线性动力系统的定性描述1

1.1　动力系统的数学定义1

1.1.1　微分方程1

1.1.2　映射3

1.1.3　解的存在性和唯一性7

1.1.4　映射的连续性和可微性9

1.1.5　逆映射定理和隐函数定理10

1.2　运动稳定性12

1.2.1　运动稳定性定义12

1.2.2　微分方程解的运动稳定性14

1.2.3　映射的运动稳定性19

1.2.4　里雅普诺夫间接法23

1.2.5　里雅普诺夫直接法27

1.3　相空间、相平面和奇点的种类及其判别指标34

1.3.1　相空间和相平面35

1.3.2　奇点的分类35

1.4　结构稳定性及分岔42

1.4.1　微分流形42

1.4.2　流与微分同胚46

1.4.3 向量场与微分同胚的相图48

1.4.4　结构稳定性与分岔51

1.5　双曲平衡点的局部结构稳定性56

1.5.1　不变子空间56

1.5.2 Hartman-Grobman定理59

1.5.3　稳定流形定理62

1.5.4　同宿轨道和异宿轨道的性质65

1.6　非双曲平衡点的局部结构稳定性71

1.6.1 中心流形72

1.6.2　依赖于参数的中心流形75

1.7　极限环78

1.7.1　基本定义79

1.7.2　极限环存在定理81

第2章　分岔及突变88

2.1 向量场的分岔88

2.1.1　平衡点的稳定性及分岔88

2.1.2　闭轨的稳定性及分岔94

2.2　映射的分岔96

2.2.1　不动点的稳定性及分岔96

2.3　周期解的稳定性和分岔104

2.3.1　连续流的离散及Poincaré映射104

2.3.2　判断周期解稳定性的Floquet理论107

2.3.3　倍周期运动及Flip分岔109

2.3.4 准周期运动及Naimark-Sacker分岔111

2.3.5　突跳及鞍－结分岔113

2.3.6　锁频114

2.4　同宿、异宿轨道分岔117

2.4.1　同宿轨道破裂118

2.4.2　异宿轨道破裂119

2.5　缺陷分岔120

2.5.1　有缺陷的分岔120

2.5.2　应用举例121

2.6　突变123

2.6.1　突变的基本理论123

2.6.2　初等突变的基本类型125

2.6.2.1 折叠突变125

2.6.2.2　尖点突变127

2.6.3　应用举例130

第3章　混沌系统132

3.1 吸引子132

3.1.1　平凡吸引子134

3.1.2　奇怪吸引子135

3.2　通向混沌的途径143

3.2.1 系列倍周期分岔通向混沌144

3.2.2　通向混沌吸引子的间歇性路径147

3.2.3　危机150

3.2.3.1　边界危机150

3.2.3.2　危机诱发的间歇现象152

3.2.4　Lorenz系统：混沌瞬态153

3.3　混沌系统156

3.3.1　混沌的概念及特征157

3.3.2　混沌的结构和行为的描述159

3.4　里雅普诺夫指数160

3.4.1　里雅普诺夫指数的定义160

3.4.2　连续动力系统161

3.4.3　离散动力系统166

3.5　分形与分维169

3.5.1　分形的概念及特征169

3.5.2 分数维172

3.5.2.1　分数维的定义及含义172

3.5.2.2　三维自治动力系统混沌吸引子的分数维175

第4章　惯性流形及其数值方法178

4.1　无穷维非线性耗散动力系统的降维178

4.2　惯性流形180

4.3　近似惯性流形及时滞惯性流形180

4.4　时滞惯性流形在浅拱动力屈曲分析中的应用182

4.4.1　基本方程182

4.4.2　时滞惯性流形的构造184

4.4.3　数值分析185

4.5 多级有限元构造N-S方程的近似惯性流形189

4.5.1　非线性Galerkin方法190

4.5.2　数值计算结果191

第5章　非线性动力学的应用193

5.1 转子－有限长气体轴承系统中的非线性动力学193

5.1.1　转子－有限长气体轴承动力系统193

5.1.2　系统的非线性动力学特性分析194

5.1.2.1　无偏心质量的转子动力系统194

5.1.2.2　有偏心质量的转子动力系统196

5.2　浅拱结构动力屈曲中多平衡位置的稳定性及分岔198

5.2.1　力学模型199

5.2.2　平衡位置及其稳定性分析200

5.2.3　动力屈曲分析200

5.2.3.1　哈密顿系统的平衡位置分布及其稳定性201

5.2.3.2　耗散系统的平衡位置分布及其稳定性201

5.2.3.3　系统的分岔行为203

5.3　机翼绕流边界层分离的分岔特性203

5.3.1　数学模型204

5.3.2　边界层的分离205

5.3.3　高阶奇点206

5.3.4　分离泡207

5.4　低速气流中二元叶片的颤振208

5.4.1　力学模型209

5.4.2　叶片颤振数值模拟211

5.5　非线性小世界网络动力学213

5.5.1　背景213

5.5.2　小世界网络模型214

5.5.3 向量场形式下小世界网络非线性动力学特性216

5.5.3.1　网络平衡状态216

5.5.3.2　网络平衡状态的Hopf分岔216

5.5.3.3　网络周期振荡失稳导致的混沌状态217

5.5.4　映射的不动点及其稳定性、分岔、混沌217

5.5.4.1　不动点及其稳定性218

5.5.4.2　倍周期分岔218

5.5.5 映射形式下系统的不动点及其分岔的数值分析218

参考文献222