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第1章 多项式1

1.1 知识脉络图解1

1.2 重点、难点解读2

1.3 典型例题解析2

1.3.1 数域的判定2

1.3.2 一元多项式的概念3

1.3.3 多项式的带余除法及整除7

1.3.4 最大公因式的计算与证明13

1.3.5 互素多项式的判定与证明15

1.3.6 不可约多项式的判定与证明18

1.3.7 重因式的判定与证明22

1.3.8 多项式函数与多项式的根25

1.3.9 重要数域上多项式的因式分解34

1.3.10 多元多项式的概念35

1.3.11 化对称多项式为初等对称多项式的多项式37

第2章 行列式44

2.1 知识脉胳图解44

2.2 重点、难点解读44

2.3 典型例题解析45

2.3.1 逆序数与行列式定义45

2.3.2 可直接利用性质计算的行列式48

2.3.3 两条线型行列式的计算51

2.3.4 箭形行列式的计算57

2.3.5 三对角行列式的计算57

2.3.6 Hessenberg型行列式的计算60

2.3.7 计算行（列）和相等的行列式61

2.3.8 可采用升阶法计算的行列式63

2.3.9 相邻行（列）元素差1的行列式计算65

2.3.10 范德蒙型行列式的计算66

2.3.11 行列式乘法公式及应用70

2.3.12 求解行列式方程71

2.3.13 有关代数余子式的计算73

2.3.14 克拉默法则的应用76

2.3.15 行列式计算杂例82

第3章 线性方程组87

3.1 知识脉胳图解87

3.2 重点、难点解读87

3.3 典型例题解析88

3.3.1 用消元法求解线性方程组88

3.3.2 求具体矩阵的秩92

3.3.3 具体向量组线性相关性的判定94

3.3.4 向量由向量组线性表出的判定与证明98

3.3.5 抽象向量组线性相关性的判定与证明106

3.3.6 求向量组的秩与极大无关组113

3.3.7 求齐次线性方程组的基础解系117

3.3.8 含参数线性方程组的求解125

3.3.9 抽象线性方程组的求解133

3.3.10 线性方程组有解的判定138

3.3.11 求两个线性方程组的公共解144

3.3.12 线性方程组杂例147

3.3.13 结式与两个一元多项式的公因式151

3.3.14 二元高次方程组的求解153

第4章 矩阵155

4.1 知识脉胳图解155

4.2 重点、难点解读155

4.3 典型例题解析156

4.3.1 矩阵乘法与可交换矩阵156

4.3.2 求抽象矩阵的行列式159

4.3.3 求方阵的幂165

4.3.4 具体矩阵的可逆性判别及求逆矩阵172

4.3.5 求抽象矩阵的逆矩阵177

4.3.6 求解矩阵方程180

4.3.7 涉及伴随矩阵的计算与证明184

4.3.8 求抽象矩阵的秩187

4.3.9 初等变换与初等矩阵190

4.3.10 分块初等矩阵及应用193

4.3.11 有关矩阵秩的证明196

4.3.12 矩阵计算杂例198

第5章 二次型200

5.1 知识脉胳图解200

5.2 重点、难点解读200

5.3 典型例题解析201

5.3.1 二次型的矩阵表示201

5.3.2 用可逆线性变换化二次型为标准形203

5.3.3 矩阵合同的判定与求法208

5.3.4 求具体矩阵的特征值与特征向量214

5.3.5 求抽象矩阵的特征值221

5.3.6 方阵可对角化的判定、计算及应用224

5.3.7 由特征值或特征向量反求矩阵中的参数236

5.3.8 由特征值和特征向量反求矩阵239

5.3.9 有关特征值与特征向量的证明242

5.3.10 相似矩阵的判定与证明244

5.3.11 正交矩阵的判定与证明247

5.3.12 实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算250

5.3.13 用正交变换化二次型为标准形253

5.3.14 正定矩阵的判定与证明260

5.3.15 由正定矩阵证明其它结论268

5.3.16 二次型杂例271

第6章 线性空间273

6.1 知识脉胳图解273

6.2 重点、难点解读273

6.3 典型例题解析274

6.3.1 线性空间的判定274

6.3.2 线性子空间的判定278

6.3.3 元素组线性相关性的判别280

6.3.4 求元素组的秩与极大无关组284

6.3.5 求线性（子）空间的基与维数285

6.3.6 求子空间的交与和的基与维数294

6.3.7 求过渡矩阵及坐标298

6.3.8 子空间直和的判定与证明303

6.3.9 线性空间同构的判定与证明307

第7章 线性变换309

7.1 知识脉胳图解309

7.2 重点、难点解读309

7.3 典型例题解析310

7.3.1 线性变换的判定与证明310

7.3.2 求线性变换的矩阵313

7.3.3 线性变换的运算及相应的矩阵319

7.3.4 求线性变换的值域与核325

7.3.5 求线性变换的特征值与特征向量333

7.3.6 化简线性变换的矩阵337

7.3.7 不变子空间的判定与证明341

第8章 λ-矩阵346

8.1 知识脉胳图解346

8.2 重点、难点解读346

8.3 典型例题解析347

8.3.1 λ-矩阵的有关概念与计算347

8.3.2 求λ-矩阵的行列式因子351

8.3.3 求λ-矩阵的Smith标准形、不变因子和初等因子353

8.3.4 λ-矩阵等价的判定与证明357

8.3.5 相似矩阵的判定与证明358

8.3.6 求矩阵的Jordan标准形和有理标准形361

8.3.7 求相似变换矩阵369

8.3.8 Jordan标准形应用举例372

8.3.9 最小多项式的求法及有关证明375

8.3.10 Hamilton-Cayley定理及最小多项式应用举例380

第9章 欧几里得空间388

9.1 知识脉胳图解388

9.2 重点、难点解读388

9.3 典型例题解析389

9.3.1 内积的构造、判定与证明389

9.3.2 标准正交基的求法397

9.3.3 正交补空间的计算与证明402

9.3.4 正交变换与对称变换的判定与证明408

9.3.5 化简对称变换的矩阵414

9.3.6 酉空间的有关结果416

第10章 双线性函数与辛空间423

10.1 知识脉胳图解423

10.2 重点、难点解读423

10.3 典型例题解析424

10.3.1 线性函数及其对偶空间424

10.3.2 双线性函数及其度量矩阵430

10.3.3 对称双线性函数的判定及度量矩阵的化简434

10.3.4 反对称双线性函数的有关结果439

附录443

西北工业大学高等代数课程考试真题及解答443

A卷（Ⅰ）443

A卷（Ⅰ）参考解答444

A卷（Ⅱ）446

A卷（Ⅱ）参考解答447

B卷（Ⅰ）449

B卷（Ⅰ）参考解答450

B卷（Ⅱ）452

B卷（Ⅱ）参考解答454

C卷（Ⅰ）456

C卷（Ⅰ）参考解答458

C卷（Ⅱ）461

C卷（Ⅱ）参考解答462

西北工业大学硕士研究生入学考试高等代数真题及解答467

2007年试题467

2007年试题参考解答468

2008年试题473

2008年试题参考解答475

2009年试题481

2009年试题参考解答482