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第1章　预备知识1

1.1　微积分回顾1

1.1.1　极限和连续性1

目录1

1.1.2　可微函数3

1.1.3　积分5

1.1.4　级数6

1.1.5　多项式求值7

1.1.6　习题9

1.2.1　二进制数10

1.2　二进制数10

1.2.2　序列与级数12

1.2.3　二进制分数13

1.2.4　二进制移位15

1.2.5　科学计数法15

1.2.6　机器数15

1.2.7　计算机精度16

1.2.8　计算机浮点数17

1.2.9　习题17

1.3　误差分析19

1.3.1　截断误差20

1.3.2　舍入误差20

1.3.3　舍去和舍入21

1.3.4　精度损失21

1.3.5　O（hn）阶逼近23

1.3.6　序列的收敛阶25

1.3.7　误差传播25

1.3.8　数据的不确定性28

1.3.9　习题29

1.3.10　算法与程序31

第2章　非线性方程f(x)=0的解法32

2.1　求解x=g（x）的迭代法33

2.1.1　寻找不动点33

2.1.2　不动点迭代的图形解释36

2.1.3　绝对误差和相对误差考虑38

2.1.4　习题39

2.1.5　算法与程序40

2.2　定位一个根的分类方法40

2.2.1　波尔查诺二分法42

2.2.2　试值法的收敛性45

2.2.3　习题48

2.2.4　算法与程序49

2.3　初始近似值和收敛判定准则49

2.3.1　检测收敛性50

2.3.2　有问题的函数53

2.3.3　习题54

2.3.4　算法与程序54

2.4 顿-拉夫森法和割线法54

2.4.1　求根的斜率法54

2.4.2　被零除错误58

2.4.3　收敛速度59

2.4.4　缺陷60

2.4.5　割线法61

2.4.6　加速收敛64

2.4.7　习题66

2.4.8　算法与程序68

2.5　埃特金过程、斯蒂芬森法和米勒法（选读）69

2.5.1　埃特金过程70

2.5.2　米勒法71

2.5.3　方法之间的比较72

2.5.4　习题76

2.5.5　算法与程序77

第3章　线性方程组AX=B的数值解法79

3.1　向量和矩阵简介79

3.1.1　矩阵和二维数组82

3.1.2　习题84

3.2　向量和矩阵的性质85

3.2.1　矩阵乘86

3.2.2　特殊矩阵87

3.2.3　非奇异矩阵的逆87

3.2.4　行列式88

3.2.5　平面旋转89

3.2.6 MATLAB实现91

3.2.7　习题91

3.2.8　算法与程序93

3.3　上三角线性方程组93

3.3.1　习题96

3.3.2　算法与程序97

3.4　高斯消去法和选主元97

3.4.1　选主元以避免a？=O102

3.4.2　选主元以减少误差102

3.4.3　病态情况104

3.4.4　MATLAB实现105

3.4.5 习题106

3.4.6　算法与程序108

3.5　三角分解法109

3.5.1　线性方程组的解110

3.5.2　三角分解法111

3.5.3　计算复杂性114

3.5.4　置换矩阵115

3.5.5　扩展高斯消去过程116

3.5.6　MATLAB实现117

3.5.7　习题119

3.5.8　算法与程序120

3.6　求解线性方程组的迭代法121

3.6.1　雅可比迭代122

3.6.2　高斯-赛德尔迭代法124

3.6.3　收敛性126

3.6.4　习题128

3.6.5　算法与程序129

3.7　非线性方程组的迭代法：赛德尔法和牛顿法（选读）130

3.7.1　理论132

3.7.2　广义微分133

3.7.3　接近不动点处的收敛性134

3.7.4　赛德尔迭代135

3.7.5　求解非线性方程组的牛顿法136

3.7.6　牛顿法概要137

3.7.7　MATLAB实现138

3.7.8　习题140

3.7.9　算法与程序143

第4章　插值与多项式逼近145

4.1　泰勒级数和函数计算146

4.1.2　习题151

4.1.1　多项式计算方法151

4.1.3　算法与程序154

4.2　插值介绍155

4.2.1　习题159

4.2.2　算法与程序160

4.3　拉格朗日逼近161

4.3.1　误差项和误差界164

4.3.2　精度与O（hN+1）166

4.3.3　MATLAB实现167

4.3.4　习题169

4.4　牛顿多项式171

4.3.5　算法与程序171

4.4.2　多项式逼近、节点和中心172

4.4.1　嵌套乘法172

4.4.3　习题177

4.4.4　算法与程序178

4.5　切比雪夫多项式（选读）179

4.5.1　切比雪夫多项式性质179

4.5.2　最小上界181

4.5.3　等距节点181

4.5.4　切比雪夫节点182

4.5.6　区间变换183

4.5.5　龙格现象183

4.5.7　正交性184

4.5.8　MATLAB实现186

4.5.9　习题187

4.5.10　算法与程序188

4.6　帕德逼近188

4.6.1　连分式191

4.6.2　习题192

4.6.3　算法与程序194

5.1　最小二乘拟合曲线195

第5章　曲线拟合195

5.1.1　求最小二乘曲线196

5.1.2　幂函数拟合y=AxM199

5.1.3　习题200

5.1.4　算法与程序202

5.2　曲线拟合203

5.2.1　y=CeAx的线性化方法203

5.2.2 求解y=CeAx的非线性最小二乘法205

5.2.3　数据线性化变换207

5.2.4　线性最小二乘法208

5.2.5　矩阵公式209

5.2.6　多项式拟合210

5.2.7　多项式摆动211

5.2.8　习题213

5.2.9　算法与程序215

5.3　样条函数插值216

5.3.1　分段线性插值216

5.3.2　分段三次样条曲线217

5.3.3　三次样条的存在性218

5.3.4　构造三次样条219

5.3.5　端点约束220

5.3.6　三次样条曲线的适宜性225

5.3.7　习题227

5.3.8　算法与程序229

5.4　傅里叶级数和三角多项式230

5.4.1　三角多项式逼近234

5.4.2　习题237

5.4.3　算法与程序238

5.5　贝塞尔曲线239

5.5.1　伯恩斯坦多项式的性质239

5.5.2　贝塞尔曲线的性质241

5.5.3　习题245

5.5.4　算法与程序246

第6章　数值微分247

6.1　导数的近似值247

6.1.1　差商的极限247

6.1.2　中心差分公式249

6.1.3　误差分析和步长优化251

6.1.4　理查森外推法254

6.1.5　习题257

6.1.6　算法与程序260

6.2　数值差分公式261

6.2.1　更多的中心差分公式261

6.2.2　误差分析262

6.2.3　拉格朗日多项式微分264

6.2.4　牛顿多项式微分266

6.2.5　习题268

6.2.6　算法与程序270

第7章　数值积分271

7.1　积分简介272

7.1.1　习题278

7.2　组合梯形公式和辛普森公式280

7.2.1　误差分析283

7.2.2　习题287

7.2.3　算法与程序290

7.3　递归公式与龙贝格积分291

7.3.1　龙贝格积分294

7.3.2　习题299

7.3.2　算法与程序301

7.4　自适应积分302

7.4.1　区间细分302

7.4.2　精度测试303

7.4.3　算法与程序307

7.5　高斯-勒让德积分（选读）308

7.5.1　习题312

7.5.2　算法与程序314

第8章　数值优化315

8.1　单变量函数的极小值315

8.1.1　分类搜索方法316

8.1.2　利用导数求极小值321

8.1.3　习题329

8.1.4　算法与程序331

8.2　内德-米德方法和鲍威尔方法332

8.2.1　内德-米德方法333

8.2.2　鲍威尔方法336

8.2.3　习题342

8.2.4　算法与程序342

8.3　梯度和牛顿方法343

8.3.1　最速下降法（梯度方法）343

8.3.2 牛顿方法345

8.3.3　习题351

8.3.4　算法与程序351

9.1　微分方程导论353

第9章　微分方程求解353

9.1.1　初值问题355

9.1.2　几何解释355

9.1.3　习题356

9.2　欧拉方法358

9.2.1　几何描述359

9.2.2　步长与误差360

9.2.3　习题363

9.2.4　算法与程序364

9.3　休恩方法365

9.3.1　步长与误差366

9.3.2　习题369

9.3.3　算法与程序370

9.4　泰勒级数法371

9.4.1　习题375

9.4.2　算法与程序375

9.5　龙格-库塔方法376

9.5.1　关于该方法的讨论377

9.5.2　步长与误差378

9.5.3　N=2的龙格-库塔方法380

9.5.4　龙格-库塔-费尔伯格方法382

9.5.5　习题386

9.5.6　算法与程序387

9.6　预报-校正方法388

9.6.1　亚当斯-巴什福斯-莫尔顿方法389

9.6.2　误差估计与校正389

9.6.3　实际考虑390

9.6.4　米尔恩-辛普森方法390

9.6.5　误差估计与校正391

9.6.6　正确的步长392

9.6.7　习题397

9.6.8　算法与程序398

9.7　微分方程组399

9.7.1　数值解399

9.7.2　高阶微分方程401

9.7.3　习题402

9.7.4　算法与程序403

9.8　边值问题406

9.8.1　分解为两个初值问题：线性打靶法407

9.8.2　习题411

9.9　有限差分方法412

9.8.3　算法与程序412

9.9.1　习题417

9.9.2　算法与程序418

第10章　偏微分方程数值解419

10.1　双曲型方程421

10.1.1　波动方程421

10.1.2　差分公式421

10.1.3　初始值422

10.1.4　达朗贝尔方法423

10.1.5　给定的两个确定行423

10.1.7　算法与程序427

10.1.6　习题427

10.2　抛物型方程428

10.2.1　热传导方程428

10.2.2　差分公式428

10.2.3　克兰克-尼科尔森法432

10.2.4　习题435

10.2.5　算法与程序436

10.3　椭圆型方程437

10.3.1　拉普拉斯差分方程437

10.3.2　建立线性方程组438

10.3.3　导数边界条件440

10.3.4　迭代方法442

10.3.5　泊松方程和亥姆霍茨方程445

10.3.6　改进446

10.3.7　习题447

10.3.8　算法与程序448

第11章　特征值与特征向量450

11.1　齐次方程组：特征值问题450

11.1.1　背景450

11.1.2　特征值452

11.1.3　对角化455

11.1.4　对称性的优势457

11.1.5　特征值范围估计458

11.1.6　方法综述458

11.1.7　习题459

11.2　幂方法460

11.2.1　收敛速度463

11.2.2　移位反幂法463

11.2.3　习题468

11.2.4　算法与程序468

11.3　雅可比方法469

11.3.2　相似和正交变换470

11.3.1 平面旋转变换470

11.3.3　雅可比变换序列471

11.3.4　一般步骤472

11.3.5　使dpq和dqp为零473

11.3.6　一般步骤小结473

11.3.7　修正矩阵的特征值474

11.3.8　消去apq的策略474

11.3.9　习题477

11.3.10　算法与程序478

11.4.1　Householder法479

11.4　对称矩阵的特征值479

11.4.2　Householder变换481

11.4.3　三角形式归约483

11.4.4　QR法485

11.4.5　加速移位486

11.4.6　习题489

11.4.7　算法与程序490

附录A　MATLAB简介491

部分习题答案498

中英文术语对照521