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第1章 概率论基础1

1.1 概率空间1

1.1.1 概率1

1.1.2 条件概率与独立性3

1.2 随机变量与典型分布5

1.2.1 随机变量5

1.2.2 典型分布7

1.2.3 多维随机变量9

1.2.4 条件随机变量10

1.2.5 独立性11

1.3 随机变量的函数13

1.3.1 一元函数13

1.3.2 二元函数13

1.4 数字特征16

1.4.1 黎曼-斯蒂阶积分16

1.4.2 数学期望（或统计平均）17

1.4.3 矩与联合矩17

1.5 条件数学期望19

1.5.1 基本概念19

1.5.2 主要性质21

1.6 特征函数、矩母函数与概率母函数23

1.6.1 特征函数23

1.6.2 矩母函数与概率母函数26

1.6.3 其他常用变换27

1.7 随机收敛性与极限定理28

1.7.1 随机变量序列的收敛性28

1.7.2 收敛定理29

1.7.3 大数定律30

1.7.4 中心极限定理31

习题32

第2章 随机过程基础35

2.1 定义与基本特性35

2.1.1 概念35

2.1.2 基本特性35

2.1.3 举例37

2.1.4 分类40

2.2 平稳性与平稳过程40

2.2.1 严格与广义平稳过程40

2.2.2 平稳过程的相关函数41

2.3 独立过程与白噪声过程42

2.4 高斯过程43

2.4.1 高斯分布44

2.4.2 高斯随机变量的性质45

2.4.3 高斯随机过程47

2.5 独立增量过程49

2.5.1 基本概念49

2.5.2 基本性质50

2.5.3 平稳独立增量过程50

2.6 布朗运动53

2.6.1 布朗运动的背景与定义53

2.6.2 基本性质54

2.6.3 首达与过零点问题55

2.6.4 布朗桥57

习题57

第3章 泊松过程及其推广60

3.1 定义与背景60

3.2 泊松事件到达时间与时间间隔62

3.2.1 基本概念62

3.2.2 基本性质63

3.2.3 指数流64

3.2.4 指数随机变量的一些性质65

3.3 到达时间的条件分布66

3.4 过滤泊松过程68

3.4.1 基本概念与性质68

3.4.2 泊松冲激序列70

3.5 复合泊松过程70

3.6 非齐次与条件泊松过程71

3.7 更新过程73

3.7.1 定义与更新函数73

3.7.2 剩余寿命与年龄75

3.7.3 若干极限定理75

习题76

第4章 马尔可夫过程79

4.1 基本概念与举例79

4.1.1 定义79

4.1.2 转移概率、C-K方程与概率分布80

4.1.3 齐次马尔可夫链82

4.1.4 举例83

4.2 状态分类87

4.2.1 可达与首达87

4.2.2 常返态与非常返态89

4.2.3 正常返性与周期性90

4.3 状态空间分解91

4.3.1 等价类91

4.3.2 状态闭集与空间分解92

4.4 遍历性、极限分布与平稳分布93

4.4.1 遍历性与基本极限定理93

4.4.2 平稳分布95

4.4.3 有限状态链的遍历性95

4.5 隐马尔可夫链96

4.5.1 基本概念96

4.5.2 最大后验概率（MAP）估计方法97

4.6 连续参数马尔可夫链及其基本性质99

4.6.1 定义99

4.6.2 基本性质100

4.6.3 Q矩阵100

4.6.4 向前向后微分方程102

4.7 生灭过程103

4.8 排队论及其应用简介106

4.8.1 排队系统106

4.8.2 马尔可夫队列及其举例107

习题110

第5章 二阶矩过程及其均方分析114

5.1 二阶矩随机变量空间与均方极限114

5.1.1 二阶矩过程114

5.1.2 二阶矩随机变量空间114

5.1.3 随机序列的均方极限116

5.1.4 随机过程的均方极限117

5.2 均方连续118

5.3 均方导数119

5.3.1 定义与可导准则119

5.3.2 基本性质119

5.4 均方积分121

5.4.1 定义与可积准则121

5.4.2 基本性质122

5.4.3 黎曼-斯蒂阶均方积分与伊藤积分124

5.5 平稳过程的均方导数与积分125

5.6 高斯过程的导过程与积分过程126

5.7 随机常微分方程128

5.7.1 基本概念128

5.7.2 简单线性常微分方程的解129

5.7.3 计算解的均值与相关函数130

习题131

第6章 平稳过程133

6.1 各态历经性（遍历性）133

6.1.1 基本概念133

6.1.2 各态历经性定理134

6.1.3 均值、方差与相关函数的估计方法137

6.2 功率谱密度137

6.2.1 功率谱密度138

6.2.2 相关函数的谱分解定理141

6.2.3 平稳白噪声141

6.3 具有随机输入的线性时不变系统142

6.3.1 系统的输出过程143

6.3.2 输出过程的均值与相关函数143

6.3.3 输入为平稳过程的情形144

6.3.4 输出中的瞬态部分146

6.4 调制与带通过程147

6.4.1 希尔伯特变换与解析过程147

6.4.2 调制过程149

6.4.3 复数表示法、相关函数与功率谱149

6.4.4 带通调制过程151

6.5 AR、MA和ARMA过程154

6.5.1 具有随机输入的离散LTI系统154

6.5.2 白噪声通过离散LTI系统155

6.5.3 AR过程156

6.5.4 MA过程157

6.5.5 ARMA过程158

6.6 傅里叶级数、随机谱分解与采样定理158

6.6.1 傅里叶级数159

6.6.2 随机谱分解159

6.6.3 带限过程与采样定理161

习题162

第7章 高阶统计量与非平稳过程165

7.1 高阶统计量165

7.1.1 高阶矩及高阶累积量定义165

7.1.2 高阶矩与高阶累积量的关系166

7.1.3 高阶累积量的性质167

7.1.4 高斯随机变量的高阶统计特性169

7.1.5 高阶谱169

7.1.6 随机过程通过线性时不变系统170

7.2 循环平稳过程170

7.2.1 严循环平稳过程与宽循环平稳过程170

7.2.2 循环相关函数与谱相关密度函数171

7.2.3 循环矩与循环累积量172

7.2.4 循环矩谱与循环累积量谱173

7.3 时频分析173

7.3.1 不确定性原理173

7.3.2 短时Fourier变换174

7.3.3 Wigner-Ville分布175

7.3.4 连续小波变换177

习题180

附录A典型分布及其主要特性列表181

参考文献183