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第一部分 复变函数3

第1章 复数及其几何属性3

1.1 复数及其基本运算3

1.1.1 复数的概念3

1.1.2 复数的运算4

1.1.3 共轭复数5

练习题1.16

1.2 复数的几何表示6

1.2.1 复平面6

1.2.2 复球面8

练习题1.210

1.3 复数的三角表示10

1.3.1 复数的三角表示与指数表示10

1.3.2 乘积与商的几何意义11

1.3.3 复数的乘幂与方根14

练习题1.317

1.4 复平面内的曲线与区域17

1.4.1 平面曲线17

1.4.2 平面区域21

练习题1.425

综合练习题125

第2章 复变函数及其解析性27

2.1 复变函数27

2.1.1 复变函数的概念27

2.1.2 初等函数31

练习题2.137

2.2 复变函数的极限、连续与导数38

2.2.1 复变函数的极限38

2.2.2 复变函数的连续性41

2.2.3 复变函数的导数42

练习题2.245

2.3 解析函数45

2.3.1 函数解析的概念45

2.3.2 函数解析的充要条件46

练习题2.351

2.4 调和函数52

练习题2.455

综合练习题256

第3章 复变函数的积分57

3.1 复变函数积分概念57

3.1.1 复积分的定义57

3.1.2 复积分的物理意义60

3.1.3 复积分的性质61

练习题3.163

3.2 柯西积分定理及其推广63

3.2.1 柯西积分定理63

3.2.2 复合闭路定理65

练习题3.267

3.3 原函数与不定积分68

3.3.1 积分与路径无关的条件68

3.3.2 原函数与不定积分70

3.3.3 平面向量场的复势72

练习题3.373

3.4 柯西积分公式与高阶导数73

3.4.1 柯西积分公式73

3.4.2 高阶导数公式75

练习题3.477

综合练习题378

第4章 级数80

4.1 复数项级数80

4.1.1 复数列及其极限80

4.1.2 级数概念及其收敛性82

练习题4.184

4.2 幂级数84

4.2.1 幂级数概念84

4.2.2 幂级数的收敛性85

4.2.3 幂级数的运算及性质90

练习题4.292

4.3 泰勒级数92

4.3.1 泰勒展开定理93

4.3.2 函数展开成幂级数95

练习题4.398

4.4 洛朗级数99

4.4.1 双边幂级数及其收敛性99

4.4.2 函数的洛朗展开式101

练习题4.4106

综合练习题4106

第5章 孤立奇点与留数108

5.1 孤立奇点108

5.1.1 孤立奇点的概念及其分类108

5.1.2 函数的零点与极点的关系112

5.1.3 函数在无穷远点的性态115

练习题5.1118

5.2 留数119

5.2.1 留数概念与留数定理119

5.2.2 极点处留数的计算规则120

5.2.3 函数在无穷远点的留数124

练习题5.2127

5.3 留数在实积分计算中的应用128

5.3.1 有理函数的积分128

5.3.2 三角函数有理式的积分129

5.3.3 有理函数与三角函数乘积的积分131

练习题5.3133

综合练习题5134

第6章 共形映射135

6.1 共形映射的基本概念135

6.1.1 共形映射的定义135

6.1.2 解析函数的导数的几何意义138

6.1.3 共形映射的基本问题140

练习题6.1141

6.2 分式线性映射142

6.2.1 分式线性映射的概念142

6.2.2 分式线性映射的性质145

6.2.3 唯一确定分式线性映射的条件149

6.2.4 区域间分式线性映射的建立151

练习题6.2155

6.3 几个初等函数所构成的映射156

6.3.1 幂函数w=zn（n≥2为整数）156

6.3.2 指数函数w=ez159

练习题6.3161

6.4 共形映射的应用161

6.4.1 黎曼存在定理161

6.4.2 拉普拉斯方程的边值问题163

练习题6.4166

综合练习题6166

第二部分 积分变换171

第7章 傅里叶变换171

7.1 傅里叶级数171

7.1.1 傅里叶系数与傅里叶级数171

7.1.2 傅里叶级数的收敛定理174

7.1.3 周期函数的傅里叶级数177

7.1.4 傅里叶级数的复指数形式179

7.1.5 周期函数的离散频谱181

练习题7.1183

7.2 傅里叶积分与傅里叶变换184

7.2.1 傅里叶积分184

7.2.2 傅里叶变换与连续频谱187

7.2.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换192

7.2.4 傅里叶正弦变换与余弦变换197

练习题7.2200

7.3 傅里叶变换的性质201

7.3.1 基本性质201

7.3.2 傅里叶变换的导数与积分206

7.3.3 卷积与卷积定理209

练习题7.3213

7.4 傅里叶变换的若干应用214

7.4.1 香农采样定理与信号的重构214

7.4.2 滤波与信号的分解216

练习题7.4219

综合练习题7219

第8章 拉普拉斯变换222

8.1 拉普拉斯变换的概念222

8.1.1 拉普拉斯变换的定义222

8.1.2 拉普拉斯变换的存在定理225

8.1.3 周期函数的拉普拉斯变换226

8.1.4 δ-函数的拉普拉斯变换227

练习题8.1228

8.2 拉普拉斯逆变换229

8.2.1 反演积分公式229

8.2.2 利用留数计算反演积分230

练习题8.2232

8.3 拉普拉斯变换的性质233

8.3.1 基本性质233

8.3.2 微分与积分性质238

8.3.3 拉普拉斯变换的卷积性质245

练习题8.3249

8.4 拉普拉斯变换的若干应用251

8.4.1 电路分析251

8.4.2 线性系统分析255

练习题8.4259

综合练习题8260

部分习题参考答案262

参考文献278