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第一章 常微分方程基础知识1

1．初值问题1

1.1）解的适定性1

1.2）Tonelli序列3

1.3）解的最大存在区间8

2．Peano现象12

2.1）最大解与最小解13

2.2）Peano现象的稀有性13

2.3）关于奇解和Lavrentief现象的附注15

3.1）Poincaré的观点17

3．Liapunov稳定性17

3.2）Liapunov稳定性的定义18

3.3）稳定性之间的关系19

3.4）Lagrange原理20

4．Peano存在定理的补充23

4.1）对隐函数存在定理的应用23

4.2）对原函数存在定理的应用25

5．初值问题的差分计算27

5.1）Gear差分格式27

5.2）几个引理28

5.3）收敛性定理的证明33

5.4）收敛性的必要条件34

参考文献Ⅰ36

1．向量场的Poincaré指数38

1.1）代数基本定理的一个简单证明38

第二章　Poincaré指数及其应用38

1.2）平面向量场的Poincaré指数39

1.3）Bendixson的指数公式42

2．闭曲面上Poincaré-Hopf的奇点指数公式45

2.1）问题的陈述45

2.2）闭曲面的基础知识46

2.3）球面向量场的奇点47

2.4）Poincaré-Hopf奇点指数公式的证明48

2.5）Euler曲面示性数公式的证明50

3.1）空间向量场的Poincaré指数52

3．Poincaé指数的应用52

3.2）经典不动点定理54

3.3）Brouwer不动点定理的推广57

4．Poincaé-Birkhoff扭转定理58

4.1）Poincaré的最后几何定理58

4.2）Birkhoff的工作58

4.3）关于Poincaré-Birkhoff扭转定理的改进60

4.4）一个附注63

5．Poincaré映射的不动点66

5.1）Poincaré映射66

5.2）耗散系统67

5.3）保守系统68

参考文献Ⅱ70

第三章 拓扑动力系统与混沌72

1．常微分方程定义的动力系统72

1.1）自治微分方程的轨线72

1.2）连续动力系统75

1.3）离散动力系统78

2．P-式回复运动80

2.1）极限点集80

2.2）P-式回复运动的定义81

2.3）非平凡的P-式回复运动83

2.4）准极小集85

3．B-式回复运动87

3.1）回复时间的间隔87

3.2）极小集89

3.3）极小集的存在性92

4．概周期运动93

4.1）ε位移集93

4.2）概周期运动的例子94

4.3）P-式回复运动的层次95

4.4）概周期运动的Liapunov稳定性95

5．特殊情形的极小集101

5.1）极限环存在定理101

5.2）Seifert猜测102

5.3）空间闭轨的存在性103

5.4）非平凡的极小集105

6．Massera定理的推广107

6.1）Poincaré-Bendixson定理的推广107

6.2）定理A的证明109

6.3）定理B的证明112

7．动力系统的复杂性114

7.1）Poincaré的观点114

7.2）混沌现象的起因116

7.3）混沌的定义117

7.4）混沌的必要条件117

7.5）混沌的存在性119

参考文献Ⅲ121

第四章 对几个公开问题的探讨123

1．Reeb问题123

1.1）空间奇点的结构123

1.2）例子的构造124

1.3）孤立奇点的性质129

2．Birkhoff猜测130

2.1）非概周期的B-式回复的解析运动的存在性130

2.2）实现Birkhoff猜测的例子131

2.3）对Birkhoff猜测的解答132

2.4）对Nemytskii问题的回答135

3.1）拓扑传递性和度量传递性138

3．Morse猜测138

3.2）Morse猜测的反例139

3.3）环面上的解析流143

4．二维流形上的Morse猜测和各态历经定理147

4.1）闭曲面上的C1光滑流147

4.2）单侧环路148

4.3）闭曲面上的准极小集151

4.4）各态历经定理的证明152

4.5）闭曲面上拓扑传递流的存在性153

5.1）问题的提出155

5.2）准备工作155

5．Bernfeld-Haddock猜测155

5.3）猜测的证明161

6．Kolmogorov问题163

6.1）Arnold的提法163

6.2）一个极小环面的再分析164

6.3）弱混合的极小环面170

6.4）Kolmogorov问题的部分解答173

7．闭曲面上的强混合流174

7.1）左侧型的广义轨线174

7.2）拓扑传递与强混合177

参考文献Ⅳ178

1.1）线性振动与非线性振动180

1．Duffing方程的周期振动180

第五章 Duffing方程的非共振性180

1.2）周期解的分类182

1.3）Duffing方程的类型184

1.4）Duffing方程的Poincaré映射186

2．时间映射189

2.1）自治Duffing方程的闭轨189

2.2）固有频率与时间映射191

2.3）时间映射的极限变差196

3．超二次位势的Duffing方程199

3.1）超线性Duffing方程199

3.2）超二次位势的条件200

3.3）基本引理204

3.4）调和解的多解性207

3.5）次调和解的多解性208

3.6）推论210

4．次二次位势的Duffing方程212

4.1）次线性Duffing方程212

4.2）大振幅的低频振荡213

4.3）高阶次调和解218

4.4）另一类次线性条件221

5.半线性Duffing方程——隔离共振点224

5.1）共振点225

5.2）非线性的共振现象226

5.3）非共振性条件227

5.4）隔离共振点的非线性振动229

6．半线性Duffing方程——接触共振点231

6.1）文献资料231

6.2）一个渐近公式234

6.3）一个基本不等式236

6.4）主要结果241

7．半线性Duffing方程——横跨共振点242

7.1）辐角的摄动242

7.2）调和解的多解性246

7.3）次调和解的多解性249

8.1）一般性质252

8．时间映射的极限变差252

8.2）主要结果256

参考文献Ⅴ261

第六章 对几个特殊微分方程的分析264

1．Brillouin电子束的周期聚焦264

1.1）非线性Mathieu型方程的边值问题264

1.2）几个引理265

1.3）周期解的存在性271

2．Lotka-Volterra周期生态系统272

2.1）引言272

2.2）调和循环274

2.3）次调和循环278

3.1）引言282

3．小振幅与大振幅的高频振动282

3.2）小振幅的受迫振动283

3.3）大振幅的受迫振动287

4．高阶Duffing方程294

4.1）力学意义294

4.2）准备工作295

4.3）主要引理296

4.4）调和振动的存在性300

5．弱耦合系统301

5.1）调和振子的弱耦合301

5.2）几个引理302

5.3）调和振动的存在性308

6．小阻尼的半线性Duffing方程309

6.1）吸引子309

6.2）基本引理310

6.3）没有混沌313

7．在粗周期摄动下的保守振子314

7.1）粗周期的摄动314

7.2）辅助方程315

7.3）辅助运动317

7.4）无界振动319

参考文献Ⅵ324

索引326