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第一章 数学解题意义1

1.1 为什么要解题？1

1.2 什么是题？什么是数学题？3

1.3 数学问题的分类5

1.3.1 按四信息分析分类5

1.3.2 按知识内容分类6

1.3.3 按解题形式分类6

1.3.4 按评判解答的客观性分类7

1.3.5 按思维程度分类7

1.3.6 按用途分类9

1.3.7 按难度分类10

1.4 什么是解题？10

1.4.1 运用系统论科学描述解题10

1.4.2 问题解决12

第二章 数学解题研究观点15

2.1 系统科学论的观点15

2.1.1 系统的基本性质与解题15

2.1.2 信息论与解题16

2.1.3 三条基本原理与解题17

2.2 波利亚的观点19

2.2.1 程序化的解题系统20

2.2.2 启发式的过程分析20

2.2.3 开放型的念头诱发21

2.2.4 探索性的问题转换21

2.3 弗里德曼的观点22

2.3.1 强调解题的实践性和创造性22

2.3.2 解答数学题的实质是要找到一种一般数学原理的序列22

2.3.3 分析解题过程的程序23

2.3.4 寻找解题方案的建议24

2.4 罗增儒的观点25

2.4.1 解题坐标系的建立25

2.4.2 解题思路的探求30

2.4.3 解题过程的改进31

2.5 数学解题研究观32

2.5.1 数学解题研究的中心内容是什么？33

2.5.2 数学解题方法系统的轴心系统是什么？34

2.5.3 数学解题方法系统应怎样建构？34

第三章 数学解题过程35

3.1 解题程序35

3.1.1 一般解题程序35

3.1.2 特殊解题程序39

3.2 数学解题过程分析41

3.2.1 解题步骤过程的一般性与特殊性分析41

3.2.2 解题思维过程的四阶段说45

3.2.3 解题思维过程的图解表示46

3.3 数学解题思路的探求47

3.3.1 试悟式探索48

3.3.2 顿悟式探索51

3.4 数学解题成果的扩大56

3.5 数学解题水平的提高65

3.5.1 提高数学解题水平的基本条件65

3.5.2 解题水平的主要标志68

3.5.3 突破解题瓶颈需要加强策略性知识学习69

3.5.4 沿着五个层次，逐步培训和提高解题水平69

3.5.5 加强典型练习，提高学用能力75

第四章 数学解题策略78

4.1 数学解题策略应遵循的原则78

4.1.1 明确的目的性原则79

4.1.2 熟悉化原则80

4.1.3 简单化原则81

4.1.4 具体化原则82

4.1.5 和谐化原则83

4.1.6 分析问题的全面性原则84

4.2 数学解题策略选择、制定中的关注要点86

4.2.1 观察、逻辑、知识、经验是选择、制定解题策略的重要因素86

4.2.2 辩证的思维是选择、制定解题策略的根本途径89

4.3 数学解题策略选择、制定的技术摘要91

4.4 数学解题策略系统的三大支柱子系统94

4.4.1 模式运作，化生为熟95

4.4.2 聚焦切入，活化中介116

4.4.3 差异分析，适时转化134

第五章 数学解题方法152

5.1 数学解题方法的意义与实质152

5.1.1 方法及解题方法的各种理解152

5.1.2 数学解题方法具有根本的意义154

5.1.3 对数学问题形式的认识是数学解题方法的实质154

5.2 数学解题方法的分类与系统建构156

5.2.1 数学解题方法的分类156

5.2.2 数学解题方法的系统观157

5.2.3 数学解题方法的系统建构159

5.3 数学解题方法中的几个关系161

5.3.1 数学解题方法与数学方法162

5.3.2 数学解题方法与数学教学162

5.3.3 数学解题方法与数学思维163

5.3.4 数学解题方法与数学解题策略164

5.3.5 数学解题方法与数学思想164

5.3.6 数学解题方法与数学方法原理165

5.3.7 数学解题方法与数学学科结构165

5.3.8 数学解题方法与数学概念166

5.3.9 数学解题方法与数学操作166

5.3.10 数学解题方法与一般科学方法167

5.3.11 数学通用解题方法与数学解题技巧167

5.3.12 数学基本解题方法与数学通用解法168

5.4 解数学题的基本方法简介169

5.4.1 公理化与数学结构型方法169

5.4.2 符号化与变元表示型方法188

5.4.3 集合论型方法201

5.4.4 对应型方法210

5.4.5 系统与统计型方法221

5.4.6 化归与辩证型方法238

5.5 精彩解法来自不断地疑问、优化与改进、探究259

5.6 一题多解的升华认识263

5.6.1 对一题多解的初步认识263

5.6.2 对一题多解的升华认识267

第六章 数学解题思路272

6.1 几类平面几何问题的求解思路272

6.1.1 线段、角的相等272

6.1.2 平行与垂直275

6.1.3 线段或角的和差倍分关系278

6.1.4 线段的比例、乘积、平方关系280

6.1.5 共线点与共点线281

6.1.6 点共圆与共点圆284

6.1.7 定值问题286

6.2 几类代数问题的求解思路287

6.2.1 恒等式的证明287

6.2.2 不等式的证明290

6.2.3 函数求值或值域294

6.2.4 特殊数列的通项公式、前n项和的求解297

6.2.5 复数问题的求解299

6.3 平面解析几何问题的求解思路300

6.3.1 平面解析几何问题的证明300

6.3.2 曲线过定点的问题302

6.4 立体几何问题的求解思路305

第七章 几类特殊题型及求解307

7.1 数学开放性问题及其求解307

7.1.1 数学开放性问题的类型及形式307

7.1.2 数学开放性问题的求解思路308

7.1.3 数学开放性问题的求解策略312

7.2 数学应用性问题及其发掘与选编315

7.2.1 数学应用性问题的发掘、选编原则316

7.2.2 数学应用性问题的发掘、选编途径316

7.3 数学选择题及求解318

7.3.1 数学选择题的结构318

7.3.2 数学选择题的分类319

7.3.3 数学选择题的解答思路319

7.3.4 单一型选择题的几种常用解法320

7.3.5 数学选择题的编制及其编制原则324

7.4 数学填空题的求解与答题要求325

7.4.1 数学填空题的求解方略325

7.4.2 数学填空题的答题要求327

第八章 数学错题校正及数学题错解辨析328

8.1 数学错题及其校正328

8.1.1 题意不明确328

8.1.2 条件不充分328

8.1.3 条件不相容329

8.1.4 条件有剩余330

8.1.5 结论不明确331

8.1.6 结论不成立331

8.1.7 “两性”不具有332

8.1.8 附图有错误333

8.2 数学题错解辨析333

8.2.1 知识性错误334

8.2.2 逻辑性错误336

8.2.3 心理性错误339

8.2.4 策略性错误344

参考文献347