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第一章 函数1

1.1集合1

一、集合1

1.集合的概念1

2.集合的运算2

二、实数集3

1.实数与数轴上的点3

2.实数的绝对值3

3.区间4

4.邻域4

习题1.15

1.2函数5

一、常量与变量5

二、函数的概念5

三、函数的表示法6

四、极坐标与参数方程所确定的函数7

1.极坐标中的函数7

2.由参数方程确定的函数10

五、分段函数11

习题1.212

1.3函数的运算与特性13

一、函数的运算13

二、函数的特性14

1.单调性14

2.奇偶性14

3.有界性14

4.周期性16

习题1.317

1.4反函数和复合函数17

一、反函数17

二、复合函数18

习题1.420

1.5初等函数21

一、基本初等函数21

1.常量函数y=C21

2.幂函数y=xα（α为实数）21

3.指数函数y=ax（a＞0，a≠1）22

4.对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）22

5.三角函数23

6.反三角函数25

二、初等函数26

习题1.526

1.6常见的经济函数27

一、成本函数27

二、需求函数28

三、供给函数29

四、总收益函数30

五、总利润函数31

习题1.632

第一章总习题33

第二章 极限与连续35

2.1数列的极限35

一、数列35

1.数列的概念35

2.数列的几何表示36

3.子数列36

二、数列极限的概念与性质37

1.数列极限的定义37

2.数列极限的几何解释41

3.数列极限的性质41

习题2.144

2.2函数的极限44

一、函数极限的概念45

1.自变量趋于无穷大时函数的极限45

2.自变量趋于有限值时函数的极限48

二、函数极限的性质52

习题2.254

2.3无穷小量与无穷大量55

一、无穷小量55

1.无穷小量的定义55

2.函数极限与无穷小量的关系56

3.无穷小量的性质56

二、无穷大量57

1.无穷大量的概念57

2.无穷大量与无穷小量的关系58

3.无穷大量的运算性质59

三、无穷小量的比较59

习题2.360

2.4函数极限的运算61

一、函数极限的四则运算法则61

二、复合函数的极限65

习题2.467

2.5极限存在的准则、两个重要极限67

一、极限存在的准则67

二、两个重要极限70

1.lim x→0 sin x/x=170

2.lim x→∞（1＋1/x）x=e72

三、等价无穷小量代换法求极限75

四、连续复利78

习题2.579

2.6函数的连续性80

一、变量的增量80

1.自变量的增量80

2.函数的增量80

二、函数连续的概念81

1.函数在一点处连续81

2.左连续和右连续82

3.函数在区间上连续83

三、函数的间断点及其类型84

1.函数的间断及间断点的概念84

2.间断点的类型84

四、连续函数的运算法则及初等函数的连续性86

1.连续函数的四则运算法则86

2.复合函数的连续性87

3.反函数的连续性87

4.初等函数的连续性88

习题2.689

2.7闭区间上连续函数的性质90

习题2.793

第二章总习题94

第三章 导数与微分98

3.1导数的概念98

一、引例98

引例1曲线的切线问题98

引例2变速直线运动的瞬时速度99

二、导数的定义100

1.函数在一点处的导数100

2.函数在区间内的导数101

3.单侧导数103

三、导数的几何意义104

四、函数的可导性与连续性的关系105

1.可导必连续105

2.连续未必可导106

习题3.1107

3.2求导法则与基本初等函数求导公式108

一、函数的和、差、积、商的求导法则108

二、反函数的求导法则110

三、复合函数的求导法则111

四、求导法则与基本初等函数的导数公式表115

1.函数的和、差、积、商的求导法则115

2.反函数的求导法则115

3.复合函数的求导法则116

4.基本初等函数导数公式表116

习题3.2116

3.3高阶导数117

习题3.3120

3.4隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数121

一、隐函数的导数121

二、由参数方程确定的函数的导数124

习题3.4125

3.5函数的微分126

一、微分的定义126

二、微分的几何意义128

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则129

1.基本初等函数的微分公式129

2.函数和、差、积、商的微分法则130

四、微分形式的不变性130

五、微分在近似计算中的应用132

习题3.5133

3.6边际与弹性133

一、经济函数的变化率——边际133

1.边际成本134

2.边际收益134

3.边际利润135

4.边际需求与边际价格136

二、经济函数的相对变化率——弹性136

1.函数弹性的定义136

2.需求的价格弹性137

3.需求弹性与总收益138

习题3.6140

第三章总习题140

第四章 中值定理与导数的应用144

4.1中值定理144

一、罗尔定理144

二、拉格朗日中值定理146

三、柯西中值定理149

习题4.1150

4.2洛必达法则151

一、0/0型未定式151

二、∞/∞型未定式154

三、0.∞、∞—∞、00、1∞、∞0型未定式155

习题4.2156

4.3函数的单调性与极值157

一、函数的单调性157

二、函数的极值160

习题4.3164

4.4曲线的凹凸性与拐点164

一、曲线的凹凸性165

二、曲线的拐点166

习题4.4167

4.5函数图形的描绘168

一、曲线的渐近线168

1.水平渐近线168

2.铅直渐近线168

3.斜渐近线168

二、函数图形的描绘169

习题4.5172

4.6函数的最值及其在经济中的应用172

一、函数的最大值和最小值172

二、经济应用问题173

1.最大利润问题173

2.最大收益问题174

3.最低平均成本问题175

4.最大征税收益问题176

习题4.6177

4.7泰勒公式177

习题4.7182

第四章总习题183

第五章 不定积分186

5.1不定积分的概念与性质186

一、原函数的概念186

二、不定积分的定义187

三、不定积分的几何意义188

四、不定积分的基本性质188

五、基本积分公式189

六、直接积分计算举例190

习题5.1192

5.2换元积分法193

一、第一换元积分法（“凑”微分法）193

二、第二换元积分法199

1.三角函数代换199

2.简单无理函数代换202

3.倒代换203

习题5.2204

5.3分部积分法205

一、降幂法206

二、升幂法207

三、循环法208

四、递推法210

习题5.3212

5.4有理函数的不定积分212

一、化有理函数为部分分式212

二、待定系数法举例213

习题5.4215

第五章总习题215

第六章 定积分和反常积分218

6.1定积分的概念218

一、问题的提出218

问题1求曲边梯形的面积218

问题2求总收益219

二、定积分的定义219

三、定积分的几何意义221

习题6.1222

6.2定积分的性质223

习题6.2226

6.3微积分基本定理227

习题6.3230

6.4定积分的计算方法232

一、换元积分法232

二、分部积分法236

习题6.4238

6.5反常积分240

一、无穷区间上的反常积分240

二、无界函数的反常积分243

习题6.5245

6.6定积分的应用246

一、定积分的元素法246

二、平面图形的面积247

1.直角坐标情形247

2.极坐标情形251

三、体积252

1.旋转体的体积252

2.平行截面面积为已知的立体的体积254

四、平面曲线的弧长255

1.直角坐标情形255

2.参数方程情形256

3.极坐标情形257

五、经济应用257

1.已知边际求原函数257

2.已知边际求总量258

3.货币流的总价值和投资回收期的计算258

4.消费者剩余和供给者剩余259

习题6.6260

第六章总习题262

第七章 向量代数和空间解析几何267

7.1向量及其线性运算267

一、向量的概念267

二、向量的线性运算267

1.向量的加法267

2.向量的减法268

3.向量的数乘268

4.向量的单位化268

三、空间直角坐标系268

1.坐标面269

2.卦限269

3.向量的坐标及相关运算269

4.向量的方向角和方向余弦270

四、向量的数量积与向量积271

1.两个向量的数量积271

2.两个向量的向量积272

3.三个向量的混合积274

习题7.1275

7.2空间中的平面和直线275

一、平面及其方程276

1.平面的点法式方程276

2.平面的一般方程277

3.两平面的夹角279

4.点到平面的距离280

二、直线及其方程280

1.直线的对称式方程和参数方程280

2.直线的一般方程282

3.空间两条直线的位置关系283

4.直线与平面的夹角283

习题7.2284

7.3曲面及其方程285

一、曲面方程的概念285

二、几种常见曲面及其方程285

1.球面285

2.柱面286

3.锥面287

4.旋转曲面288

三、二次曲面290

1.椭球面291

2.双曲面292

3.抛物面293

习题7.3295

7.4空间曲线296

一、空间曲线及其方程296

1.曲线的一般方程296

2.曲线的参数方程296

二、空间曲线在坐标面上的投影297

习题7.4299

第七章总习题299

第八章 多元函数微分学301

8.1多元函数的概念301

一、预备知识301

1.邻域301

2.区域301

二、多元函数的概念302

习题8.1303

8.2多元函数的极限303

一、多元函数的极限303

二、多元函数的连续性305

习题8.2306

8.3偏导数306

一、偏导数的定义306

二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系308

三、高阶偏导数310

习题8.3311

8.4全微分312

一、全微分312

二、可微的条件313

三、全微分在近似计算中的应用315

习题8.4316

8.5多元复合函数的求导法则316

一、链式法则316

二、全微分形式不变性319

习题8.5319

8.6隐函数求导法则320

一、一个方程的情形320

二、方程组的情形322

习题8.6324

8.7多元函数的极值325

一、极值325

二、最值327

三、条件极值与拉格朗日乘数法328

习题8.7330

第八章总习题331

第九章 二重积分334

9.1二重积分的概念与性质334

一、引例334

引例1求曲顶柱体的体积334

引例2求平面薄片的质量335

二、二重积分的概念336

三、二重积分的性质337

习题9.1339

9.2二重积分的计算340

一、直角坐标系中二重积分的计算340

二、极坐标系中二重积分的计算347

习题9.2351

第九章总习题353

第十章 无穷级数356

10.1常数项无穷级数的概念和性质356

一、常数项无穷级数的概念356

二、无穷级数的性质359

习题10.1364

10.2正项级数364

一、正项级数收敛的充分必要条件365

二、正项级数敛散性的判别方法366

1.比较审敛法366

2.比值审敛法370

3.根值审敛法373

4.（柯西）积分审敛法375

习题10.2376

10.3任意项级数378

一、交错级数敛散性的判别方法378

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛380

1.绝对收敛与条件收敛的概念380

2.任意项级数的审敛法380

习题10.3383

10.4幂级数384

一、函数项级数的概念384

二、幂级数385

1.幂级数的概念385

2.幂级数的敛散性385

3.幂级数的运算390

4.幂级数和函数的性质391

习题10.4396

10.5泰勒级数与函数的幂级数展开397

一、泰勒级数397

1.泰勒级数的定义397

2.函数表示成泰勒级数的条件398

二、函数展开成幂级数398

1.幂级数展开式的唯一性398

2.将函数展开成幂级数的方法403

3.几个常用的麦克劳林展开式407

4.幂级数的简单应用408

习题10.5410

第十章总习题411

第十一章 常微分方程和差分方程415

11.1微分方程的基本概念415

一、引例415

引例1求曲线的方程415

引例2求做变速直线运动物体的运动方程415

二、微分方程的概念416

习题11.1418

11.2可分离变量的微分方程419

一、可分离变量的微分方程419

二、齐次微分方程421

习题11.2425

11.3一阶线性微分方程426

一、一阶线性微分方程426

二、伯努利方程429

习题11.3430

11.4全微分方程431

习题11.4434

11.5可降阶的高阶微分方程434

一、y（n）=f（x）型微分方程434

二、y”=f（x，y’）型微分方程435

三、y”=f（y，y’）型微分方程436

习题11.5438

11.6二阶线性微分方程438

一、二阶线性微分方程解的结构438

1.二阶线性微分方程的基本概念438

2.二阶齐次线性微分方程解的结构438

3.二阶非齐次线性微分方程解的结构439

二、二阶常系数线性微分方程441

1.二阶常系数齐次线性微分方程441

2.二阶常系数非齐次线性微分方程444

习题11.6448

11.7差分方程及其简单应用448

一、差分的概念448

二、差分方程的概念450

三、一阶常系数线性差分方程450

1.yx＋1—ayx=0（a为非零常数）451

2.yx＋1—ayx=f（x）（a为非零常数）451

四、二阶常系数线性差分方程454

1.齐次差分方程的通解454

2.非齐次差分方程的特解和通解455

五、差分方程的简单应用457

1.动态供需均衡模型457

2.凯恩斯（Keynes.J.M）国民经济收支动态均衡模型458

3.哈罗德（Harrod.R.H）经济增长模型459

习题11.7459

11.8微分方程建模简介460

模型一、价格波动模型460

模型二、传染病模型463

1.SI模型463

2.SIS模型464

模型三、减肥问题464

模型四、单种群增长问题466

1.马尔萨斯（Malthus）模型466

2.逻辑斯谛（logistic）模型467

习题11.8468

第十一章总习题468

习题参考答案与提示472